Doble categoría

Una categoría dual ( categoría dual ) es una categoría construida a partir de una dualidad dada según el principio de la teoría de categorías , es decir, para una categoría, la categoría dual es una categoría con los mismos objetos que con conjuntos de morfismos ("flecha invertida" ). La composición de morfismos en y en una categoría se define como la composición de y en . Los conceptos y enunciados pertenecientes a la categoría se reemplazan por conceptos y enunciados duales en . El uso de la dualidad toma dos veces la categoría en sí misma. ${\ matemática C}$ ${\mathcal C}^{{op))$ ${\ matemática C}$ ${\text{Hom}}_{{\mathcal {C}}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)$ $F$ $gramo$ ${\mathcal C}^{{op))$ $gramo$ $F$ ${\ matemática C}$ ${\ matemática C}$ ${\mathcal C}^{{op))$

Ejemplos

La categoría de álgebras booleanas es equivalente a la categoría dual de espacios de piedra y funciones continuas.
La categoría de esquemas afines es equivalente a la categoría dual de anillos conmutativos .
La dualidad de Pontryagin se puede restringir a la equivalencia de la categoría de grupos topológicos compactos abelianos de Hausdorff y la categoría dual de grupos abelianos (discretos) .
Según el teorema de Gelfand-Neumark, la categoría de espacios medibles localmente (y funciones medibles ) es equivalente a la categoría dual de álgebras de von Neumann conmutativas .

Propiedades

$({\mathcal C}\times {\mathcal D})^{{op}}\cong {\mathcal C}^{{op}}\times {\mathcal D}^{{op}}$ (ver categoría de trabajo )
$(Función({\mathcal C},{\mathcal D}))^{{op}}\cong Funct({\mathcal C}^{{op}},{\mathcal D}^{{op}})$ [1] [2] (ver la categoría de funtores )
$(F\flecha abajo G)^{{op}}\cong (G^{{op}}\flecha abajo F^{{op}})$ (ver categoría de coma )

Notas

↑ H. Herrlich, G.E. Strecker, Teoría de categorías , 3.ª edición, Heldermann Verlag, p. 99
↑ O. Wyler, Lecture Notes on Topoi and Quasitopoi , World Scientific, 1991, p. ocho.

Literatura

McLane S. Capítulo 2. Construcciones en categorías // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .