Equivalencia de categoría

La equivalencia de categorías en la teoría de categorías es una relación entre categorías que muestra que dos categorías son "esencialmente iguales". El establecimiento de la equivalencia atestigua la profunda conexión de los conceptos matemáticos correspondientes y permite "transferir" teoremas de una estructura a otra.

Definición

Para dos categorías C y D , su equivalencia está dada si se dan un funtor F : C → D , un funtor G : D → C , y dos isomorfismos naturales ε : FG → I D y η : I C → GF . Aquí I C : C → C e I D : D → D son funtores idénticos en C y D , respectivamente. Si F y G son funtores contravariantes, esto define la dualidad de categorías .

Formulaciones equivalentes

Se puede demostrar que un funtor F : C → D define la equivalencia de categoría si y solo si:

bastante único y
es denso, es decir, en la clase de isomorfismo de cualquier elemento d de la categoría D , existe un objeto que tiene una preimagen en C bajo la acción de F .

Este es el criterio más utilizado, ya que no requiere la construcción explícita de un funtor "inverso" y dos transformaciones naturales. Por otro lado, aunque la propiedad anterior garantiza la existencia de una equivalencia, se pierden algunos datos porque en ocasiones la equivalencia se puede realizar de diferentes formas. Por lo tanto, un funtor F con tales propiedades a veces se denomina equivalencia de categoría débil .

Otra formulación usa el concepto de funtores adjuntos : F y G definen la equivalencia de categorías si y solo si ambos son completamente univalentes y son adjuntos.

Ejemplos

Entre una categoría de un objeto y un morfismo y una categoría de dos objetos , y cuatro morfismos: dos idénticos , y dos isomorfismos , se puede establecer la equivalencia, por ejemplo, tomar , enviar a y , enviar todo a . Sin embargo, por ejemplo, una categoría no es equivalente a una categoría de dos objetos y dos morfismos idénticos. $C$ $C$ ${\ estilo de visualización 1_ {c}}$ $D$ ${\ estilo de visualización d_ {1}}$ ${\ estilo de visualización d_ {2))$ ${\ estilo de visualización 1_ {d_ {1}}}$ ${\ estilo de visualización 1_ {d_ {2}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2))$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1))$ $F$ $C$ ${\ estilo de visualización d_ {1}}$ $GRAMO$ $D$ $C$ $C$
Deje que la categoría consista en un objeto y dos morfismos , donde . Luego define un isomorfismo natural consigo mismo (no trivial, ya que actúa sobre los morfismos de forma no idéntica). $C$ $C$ $1_{c},f\dos puntos c\a c$ ${\ estilo de visualización f \ círculo f = 1}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {I} _ {C}}$
La categoría de espacios vectoriales reales de dimensión finita y la categoría (los objetos son números naturales, los morfismos son matrices de la dimensión correspondiente) son equivalentes: el funtor asigna a un espacio vectorial su dimensión (que corresponde a la elección en cada espacio base). $C$ $D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )$ $F\dos puntos C\a D$
Uno de los temas centrales de la geometría algebraica es la dualidad de las categorías de esquemas afines y anillos conmutativos . El funtor correspondiente envía el anillo a su espectro, un esquema formado por ideales primos .

Propiedades

Con la equivalencia de categoría, se conservan todas las propiedades "categóricas": por ejemplo, la propiedad de ser un objeto inicial , un monomorfismo , un límite o la propiedad de una categoría de ser un topos .

Si F : C → D es una equivalencia de categorías y G 1 , G 2 son "inversos" a F , entonces G 1 y G 2 son naturalmente isomorfos.

Literatura

Equivalencia de categorías - artículo de Encyclopedia of Mathematics
McLane S. Capítulo 4. Funtores adjuntos // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .