Categoría de funtores

En la teoría de categorías, los funtores entre dos categorías fijas forman una categoría cuyos morfismos son transformaciones naturales .

Definición

Sea C una categoría pequeña (sus objetos y morfismos forman un conjunto) y D una categoría arbitraria. Entonces la categoría de funtores de C a D , denotada por Fun( C , D ), Funct( C , D ) o D C , se define de la siguiente manera: los objetos son funtores covariantes de C a D , los morfismos son transformaciones naturales entre estos funtores. Dado que la composición de las transformaciones naturales es natural (ver transformación natural ) y la transformación de identidad es natural, D Csatisface los axiomas de la categoría.

La categoría de funtores contravariantes de C a D se define de manera similar, denotada por Funct( C op , D ).

Ejemplos

Si I es una categoría discreta pequeña (todos los morfismos son idénticos), entonces un funtor de I a C es solo una familia de objetos C indexados por I . La categoría C I en este caso corresponde a alguna categoría del producto .
La categoría de flechas (los objetos son morfismos de C , los morfismos son cuadrados conmutativos) es la categoría de , donde 2 denota la categoría de dos objetos, morfismos idénticos y un morfismo del primer objeto al segundo. ${\ matemáticas {C}}^{\ flecha derecha}$ ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$
un grafo dirigido es un conjunto de flechas y un conjunto de vértices que asocian cada flecha con un vértice inicial y un vértice final. La categoría de grafos dirigidos no es más que la categoría Conjunto C , donde C es una categoría con dos objetos y dos morfismos entre ellos, y Conjunto es la categoría de conjuntos .

Propiedades

Si D es una categoría completa (o cocompleta), entonces también lo es D C ;
Si D es una categoría abeliana , entonces también lo es D C ;
Si C es una categoría pequeña, entonces la categoría de pregavillas Conjunto C es un topos .
Todo funtor F : D → E induce un funtor F C : D C → E C (por composición con F ). Si F y G son un par de funtores adjuntos , entonces también lo son F C y G C.
La categoría D C satisface todas las propiedades de la exponencial ; en particular, los funtores E × C → D están en correspondencia biunívoca con los funtores de E a D C . La categoría Gato de categorías pequeñas es por tanto cartesiana cerrada .

Literatura

Tom Leinster. Operadas Superiores, Categorías Superiores (indefinidas) . — Cambridge University Press , 2004. Archivado el 6 de diciembre de 2013 en Wayback Machine .