Grupo divisible

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Un grupo divisible es un grupo tal que para cualquiera y la ecuación $GRAMO$ $n\in {\mathbb N}$ $g\in G$

{\ estilo de visualización x ^ {n} = g}

soluble. A menudo se supone que el grupo es abeliano y la condición se escribe en notación aditiva como . ${\ estilo de visualización nx = g}$

Un grupo se llama -divisible ( es un número primo ) si alguno es resoluble en la ecuación . $A$ $pags$ $pags$ $a \ en A$ $A$ ${\ estilo de visualización px = un}$

Los grupos divisibles no conmutativos a veces se denominan completos (que no deben confundirse con los grupos completos , que son isomorfos a su grupo de automorfismos).

Ejemplos

El grupo de todos los números racionales ; ${\ estilo de visualización (\ matemáticas {Q}, +)}$
$pags$ -grupo cuasicíclico primario , es decir, un grupo generado por un conjunto contable de elementos que satisfacen la condición $(\mathbb {Z} _{p^{\infty)),+)$ $a_{0},\,a_{1},\,\ldots,\,a_{n},\,\ldots$

pa_{0}=0,\,pa_{1}=a_{0},\,\ldots,\,pa_{n}=a_{n-1},\,\ldots

Propiedades de los grupos divisibles

La imagen homomórfica de un grupo abeliano divisible es un grupo divisible.
Un grupo abeliano es divisible si y solo si es -divisible para todo primo . $pags$ $pags$
Cada subgrupo divisible se distingue por un sumando directo.
- Por lo tanto, los grupos abelianos divisibles son objetos inyectivos en la categoría de grupos abelianos ( -módulos). La misma afirmación también es cierta en la categoría de módulos sobre cualquier dominio de ideales principales . $\matemáticas {Z}$
Cualquier grupo abeliano se descompone en una suma directa , donde es un grupo divisible (se llama la parte divisible del grupo ), y es un grupo reducido, es decir, un grupo que no contiene subgrupos divisibles distintos de cero. $A$ $A=D\oplus R$ $D$ $A$ $R$

Estructura de grupos divisibles

Si es un grupo abeliano divisible arbitrario, entonces $A$

A\cong \bigoplus \limits _{r_{0}(A)}\mathbb {Q} \oplus \bigoplus \limits _{p\in P}\bigoplus \limits _{r_{p}(A )}\mathbb {Z}_{p^{\infty}}

Definiciones relacionadas

Si en un grupo completo las ecuaciones indicadas en la definición son de solución única, se le llama grupo D. Tales, en particular, son grupos libres de torsión completos localmente nilpotentes .

Literatura

L. Fuchs Grupos abelianos infinitos. T. 1, 2. - M.: Mir, 1974, 1977.
AG Kurosh Teoría de grupos . — M.: Fizmatlit , 2011. — ISBN 978-5-9221-1349-6 .