Grupo perfecto

Otro significado de este término: grupo coincidente con su subgrupo derivado

Un grupo perfecto [1] es un grupo tal que el mapeo es un isomorfismo de . Este mapeo envía un elemento a un automorfismo de conjugación . La inyectividad de esta aplicación equivale a la trivialidad del centro , y la sobreyectividad equivale al hecho de que todo automorfismo es interno. $GRAMO$ $G\to Aut(G)$ $g\in g$ ${\displaystyle s_{g}:h\to ghg^{-1))$

Los ejemplos son grupos simétricos en ( teorema de Hölder ); además, el grupo tiene un centro no trivial y el grupo tiene un automorfismo exterior . $S_{n}$ ${\ estilo de visualización n \ neq 2.6}$ ${\ Displaystyle S_ {2} = \ mathbb {Z} _ {2}}$ $T_6$

Los automorfismos de un grupo simple forman un grupo casi simple , y los automorfismos de un grupo simple no abeliano forman un grupo perfecto.

No todos los grupos isomorfos a su grupo de automorfismo son perfectos; es necesario que el isomorfismo se realice mediante un mapa de conjugación. Un ejemplo de un grupo para el cual , pero que no es perfecto, es el grupo diédrico [2] . $G=Aut(G)$ $D_{4}$

Notas

↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentos de la teoría de grupos. - 2ª ed. - Moscú: Nauka, 1977. - S. 62. - 240 p.
↑ Robinson, sección 13.5

Literatura

Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Rotman, Joseph J. (1994), Introducción a la teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94285-8 (capítulo 7, en particular los teoremas 7.15 y 7.17).

Enlaces

Joel David Hamkins : ¿Qué altura tiene la torre de automorfismos de un grupo?