Función Digama

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En matemáticas , la función digamma se define como la derivada logarítmica de la función gamma : ${\ estilo de texto {\ psi (x)))$

\psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x))).

Es una función poligamma de primer orden, y de ella se obtienen por diferenciación funciones poligamma de órdenes superiores ( función trigamma , etc.).

Propiedades

La función digamma está relacionada con los números armónicos por la relación $\displaystyle {\psi(n)=H_{{n-1}}-\gamma},$

donde es el n-ésimo número armónico y es la constante de Euler-Mascheroni .

{\ estilo de texto {H_{n}}}

{\ estilo de texto {\ gamma ))

Fórmula de suplemento ${\displaystyle \displaystyle {\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \operatorname {ctg} (\pi x)))$
Relación recurrente $\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac{1}{x}}$
Descomposición en una suma infinita $\psi (x)=\ln x-{\frac {1}{2x}}+\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {\zeta (1-2n)}{ x^{2n}}}$

donde es la función zeta de Riemann .

\zeta (x)

Expansión logarítmica $\psi (x)=\sum_{{n=0}}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum_{{k=0}}^{n}(-1 )^{k}{\binom{n}{k}}\ln(x+k)$
teorema de Gauss ${\frac {\Gamma '(p/q)}{\Gamma (p/q)))=-\gamma -\ln(2q)-{\frac {\pi }{2))\nombre del operador {ctg} \left({\frac {\pi p}{q}}\right)+2\sum _{0<n<q/2}\cos \left({\frac {2\pi pn}{ q}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{q}}\right)$

para enteros con la condición .

pag q

0<p<q

Para todos , las expansiones en una serie son válidas: $z\neq -1,-2,-3,\ldots$ $\psi (z+1)=-\gamma +\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {z}{n(n+z))).$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Digamma Function (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Propiedades de la función digamma