Función trigamma

La función trigamma en matemáticas es la segunda de las funciones poligamma . Se denota y define como $\psi_{{1}}(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {{{\rm {d}}}^{2}}{{{\rm {d}}}z^{2}}}\ln \Gamma ( z)\;,

donde está la función gamma [1] . De esta definición se sigue que $\gamma(z)$

\psi _{1}(z)={\frac {({\rm {d}}}}{({\rm {d}}}z}}\psi (z)\;,

donde está la función digamma (la primera de las funciones polygamma ) [2] . $\psi (z)$

La función trigamma también se puede definir en términos de la suma de las siguientes series:

\psi _{1}(z)=\sum _{{n=0}}^{{\infty}}{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

de donde se puede ver que es un caso especial de la función zeta de Hurwitz [2 ] ,

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.

Estas fórmulas son verdaderas cuando (en los puntos indicados, la función tiene singularidades cuadráticas , ver gráfico de función). $z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots$ $\psi_{{1}}(z)$

También hay otras notaciones para usar en la literatura: $\psi_{{1}}(z)$

\psi'(z),\;\;\;\psi ^{{(1)}}(z)\;.

A veces, el término "función trigamma" se utiliza para la función [1] . $F'(z)=\psi _{{1}}(z+1)$

Representaciones integrales

Usando la representación en serie, así como la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica , se puede obtener la siguiente representación integral doble:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x }}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.

La integración por partes produce la siguiente representación única:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{ \rm{d}}x\;.

También se utiliza otra representación, que se puede obtener de la anterior reemplazando x = e -t :

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt)){1-e^{-t))}\,{\ rm {d}}t\;.

Otras fórmulas

La función trigamma satisface la relación recursiva [2]

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,

así como la fórmula del complemento [2]

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)))\;.

La función trigamma de un argumento múltiple tiene la siguiente propiedad [2] :

\psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{{n=0}}^{{k-1}}\psi _{1}\left (z+{\frac {n}{k}}\derecha)\;.

También damos una expansión asintótica usando números de Bernoulli :

\psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum_{k=1}^ {\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.

Valores privados

A continuación se muestran los valores particulares de la función trigamma [1] :

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt { 3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,

\psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,

donde G es la constante Catalana y es la función de Clausen relacionada con la parte imaginaria del dilogaritmo vía ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$

{\mathrm {Cl}}_{2}(\theta )={\mathrm {Im}}\left[{\mathrm {Li}}_{2}\!\left(e^{{{\mathrm { i}}\theta }}\derecho)\derecho]\;.

Usando la fórmula de múltiples argumentos y la fórmula del complemento, así como la conexión con la función de Clausen [3] [4] , obtenemos: $\psi_{{1}}\!\left({\tfrac 18}\right)$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2} \! \ izquierda ({\ tfrac {2}{3}} \ pi \ derecha) \;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl } _{2} \! \ izquierda ({\ tfrac {2}{3}} \ pi \ derecha) \;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4- {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+ {\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+ {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; ,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4- {\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\; .

Para valores fuera del rango , se puede utilizar la recurrencia anterior. Por ejemplo [1] , $0<z\leq 1$

\psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,

\psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,

\psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 4 Eric W. Weisstein. Función Trigamma (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 3 4 5 Eric W. Weisstein. Función Polygamma (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ CC Grosjean, Fórmulas relativas al cálculo de la integral de Clausen ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$ , J. Comp. aplicación Matemáticas. 11 (1984) 331-342
↑ PJ de Doelder, Sobre la integral de Clausen y una integral relacionada ${\mathrm {Cl}}_{2}(\theta)$ , J. Comp. aplicación Matemáticas. 11 (1984) 325-330

Enlaces

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, Manual de funciones matemáticas , (1964) Publicaciones de Dover, Nueva York. ISBN 0-486-61272-4 . Ver sección §6.4
Eric W. Weisstein, Función Trigamma , MathWorld - mathworld.wolfram.com
Eric W. Weisstein, Función poligamma , MathWorld - mathworld.wolfram.com