Discriminante

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 23 de enero de 2022; las comprobaciones requieren 23 ediciones .

El discriminante de un polinomio es un concepto matemático (en álgebra ), denotado por las letras D o Δ [1] .

Para un polinomio , , su discriminante es el producto $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ $a_{n}\neq 0$

D(p)=a_{n}^{{2n-2}}\prod_{{i<j}}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2}

, donde están todas las raíces del polinomio (teniendo en cuenta las multiplicidades) en alguna extensión del campo principal en el que existen.

\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots,\alpha _{n}

se usa con mayor frecuencia , cuyo signo determina el número de raíces reales.

Propiedades

El discriminante es cero si y solo si el polinomio tiene múltiples raíces.
El discriminante es un polinomio simétrico con respecto a las raíces del polinomio y por tanto es un polinomio en sus coeficientes; además, los coeficientes de este polinomio son números enteros independientemente de la extensión en la que se tomen las raíces.
$D(p)={\frac{(-1)^{{n(n-1)/2}}}{a_{n}}}R(p,p')$ , donde es la resultante del polinomio y su derivada . $R(p,p')$ $p(x)$ $p'(x)$

Ejemplos

Todos los siguientes ejemplos tratan con polinomios con coeficientes reales y un coeficiente principal distinto de cero.

Polinomio de segundo grado

El discriminante de un trinomio cuadrado es $hacha^{2}+bx+c$ $D=b^{2}-4ac.$

Cuando el trinomio tendrá dos raíces reales: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {D}}} }.$
Cuando - una raíz de multiplicidad 2 (en otras palabras, dos raíces idénticas): $D=0$ $x=-{\frac{b}{2a}}.$
Sin embargo, cuando no hay raíces reales, hay dos raíces conjugadas complejas expresadas por la misma fórmula que para el discriminante positivo. También se puede reescribir para que no contenga una expresión radical negativa, de la siguiente manera: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$ $x_{1,2}={\frac {2c}{-b\pm {\sqrt {D))))={\frac {2c}{-b\pm i{\sqrt {|D| }}}}.$

Polinomio de tercer grado

El discriminante de un polinomio cúbico es $hacha^{3}+bx^{2}+cx+d$

D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd=27\left(6a{\frac {b}{3}}{\frac {c}{3}}d-4\left(a\left({\frac {c}{3}}\right)^{3}+\left({\ fracción {b}{3}}\derecha)^{3}d\derecha)+3\izquierda({\frac {b}{3}}\derecha)^{2}\izquierda({\frac {c} {3}}\right)^{2}-a^{2}d^{2}\right).

En particular, el discriminante de un polinomio cúbico (cuyas raíces se calculan usando la fórmula de Cardano ) es . $x^{3}+px+q$ $-4p^{3}-27q^{2}=-108\left(\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}+\left({\frac {q {2}}\derecho)^{2}\derecho).$

Porque un polinomio cúbico tiene tres raíces reales distintas. $D>0$
Para , tiene una raíz múltiple (ya sea una raíz de multiplicidad 2 y una raíz de multiplicidad 1, ambas reales, o una sola raíz real de multiplicidad 3). $D=0$
Porque un polinomio cúbico tiene una raíz real y dos raíces complejas (que son conjugadas complejas). $D<0$

Polinomio de cuarto grado

El discriminante de un polinomio de cuarto grado es igual a $hacha^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e$

{\begin{alineado}D&=256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a ^{2}cd^{2}e-27a^{2}d^{4}\ +\\&+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e- 80abc^{2}de+18abcd^{3}+16ac^{4}e\ -\\&-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{ 3}cde-4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}.\end{alineado}}

Para un polinomio, el discriminante tiene la forma $x^{4}+qx^{2}+rx+s$

{\begin{alineado}D&=256s^{3}-128q^{2}s^{2}+144qr^{2}s-27r^{4}+16q^{4}s-4q^ {3}r^{2}=\\&=256\left(s^{3}-18\left({\frac {q}{6}}\right)^{2}s^{2}- 27\izquierda({\frac {r}{4}}\derecha)^{4}-54\izquierda({\frac {q}{6}}\derecha)^{3}r^{2}+54 \left({\frac {q}{6}}\right)\left({\frac {r}{4}}\right)^{2}s+81\left({\frac {q}{6 }}\derecho)^{4}s\derecho).\end{alineado}}

y la igualdad define una superficie en el espacio llamada cola de golondrina . $D=0$ $(q, r, s)$

En , el polinomio tiene dos raíces reales diferentes y dos raíces complejas. $D<0$
Cuando el polinomio tiene cuatro raíces diferentes: o todas reales o todas complejas. $D>0$

Es decir, para el polinomio [2] :

x^{4}+qx^{2}+rx+s

si , entonces todas las raíces son complejas; ${\ estilo de visualización q \ geqslant 0}$
si y , entonces todas las raíces son complejas; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
si y , entonces todas las raíces son reales. $q<0$ $s<{\frac{q^{2}}{4}}$

Para , el polinomio tiene al menos una raíz múltiple (real o compleja). En el segundo caso, el polinomio tiene dos raíces múltiples conjugadas complejas y, por tanto, se descompone en un producto de dos polinomios de segundo grado, irreductibles sobre el campo de los números reales. $D=0$

Más precisamente [2] :

si y , entonces una raíz real de multiplicidad 2 y dos raíces complejas; $q<0$ $s>{\frac {q^{2}}{4}}$
si y , entonces tres raíces reales diferentes, una de las cuales tiene multiplicidad 2; $q<0$ $-{\frac{q^{2}}{12}}<s<{\frac{q^{2}}{4}}$
si y , entonces dos raíces reales, cada una de las cuales tiene multiplicidad 2; $q<0$ $s={\frac{q^{2}}{4}}$
si y , entonces dos raíces reales, una de las cuales tiene multiplicidad 3; $q<0$ $s=-{\frac{q^{2}}{12}}$
si , y , entonces una raíz real de multiplicidad 2 y dos raíces complejas; $q>0$ $s>0$ $r\neq 0$
si , y , entonces un par de raíces conjugadas complejas de multiplicidad 2; $q>0$ $s={\frac{q^{2}}{4}}$ $r=0$
si y , entonces una raíz real de multiplicidad 2 y dos raíces complejas; $q>0$ $s=0$
si y , entonces una raíz real de multiplicidad 2 y dos raíces complejas; $q=0$ $s>0$
si y , entonces una raíz real de multiplicidad 4. $q=0$ $s=0$

Historia

El término se deriva del lat. discrimino - "desmontar", "distinguir". El concepto de "discriminante de forma cuadrada" se utilizó en los trabajos de Gauss , Dedekind , Kronecker , Weber y otros. El término fue introducido por Sylvester [3] .

Véase también

Resultante

Literatura

Polinomios de Prasolov VV . — M. : MTsNMO , 1999, 2001, 2003.

Notas

↑ Discriminante de un polinomio // Libro de referencia matemático.
↑ 1 2 Rees, EL Discusión gráfica de las raíces de una ecuación cuártica // The American Mathematical Monthly : revista. - 1922. - Vol. 29 , núm. 2 . - Pág. 51-55 . -doi : 10.2307/ 2972804 .
↑ Matrices y Determinantes - Numericana . Consultado el 9 de mayo de 2010. Archivado desde el original el 1 de junio de 2010. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán Britannica (en línea)