Raíz de polinomio

Raíz de un polinomio (no idénticamente cero )

a_{0}+a_{1}x+\puntos +a_{n}x^{n}

sobre un campo es un elemento (o un elemento de la extensión del campo ) tal que se satisfacen las siguientes dos condiciones equivalentes : $k$ ${\ estilo de visualización c \ en K}$ $k$

el polinomio dado es divisible por el polinomio ; $xc$
sustituyendo un elemento por invierte la ecuación $C$ $X$

a_{0}+a_{1}x+\puntos +a_{n}x^{n}=0

en identidad , es decir, el valor del polinomio se vuelve cero.

La equivalencia de las dos formulaciones se deriva del teorema de Bézout . En varias fuentes, cualquiera de las dos formulaciones se elige como definición, mientras que la otra se deduce como teorema.

Se dice que una raíz tiene multiplicidad si el polinomio en cuestión es divisible y no divisible por Por ejemplo, el polinomio tiene una sola raíz igual a la multiplicidad . La expresión "raíz múltiple" significa que la multiplicidad de la raíz es mayor que uno. $C$ $metro$ $(xc)^{m}$ $(xc)^{{m+1}}.$ ${\ estilo de visualización x^{2}-2x+1}$ $una$ $2$

Se dice que un polinomio tiene raíces sin tener en cuenta la multiplicidad si cada una de sus raíces se tiene en cuenta al contar una vez. Si cada raíz se cuenta un número de veces igual a su multiplicidad, entonces se dice que el cálculo se realiza teniendo en cuenta la multiplicidad . $norte$

Propiedades

El número de raíces de un polinomio con multiplicidad no es menor que sin multiplicidad.
El número de raíces de un polinomio de grado no excede incluso si se cuentan las raíces múltiples teniendo en cuenta la multiplicidad. $norte$ $norte$
Todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja ( Teorema Fundamental del Álgebra ). $p(x)$
- Una declaración similar es válida para cualquier campo algebraicamente cerrado en lugar del campo de números complejos (por definición).
- Además, un polinomio con coeficientes reales se puede escribir como $p(x)$

p(x)=a(x-c_{1})(x-c_{2})\ldots (x-c_{n}),

donde - (en el caso general, complejo) raíces del polinomio , posiblemente con repeticiones, mientras que si entre las raíces del polinomio hay otras iguales, entonces su valor común se llama raíz múltiple , y el número es la multiplicidad de este raíz.

c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}

p(x)

c_{1},c_{2},\ldots,c_{n}

p(x)

El número de raíces complejas de un polinomio con coeficientes de grado complejo , teniendo en cuenta la multiplicidad, es igual a . Además, todas las raíces puramente complejas (si las hay) de un polinomio con coeficientes reales se pueden dividir en pares de conjugados de la misma multiplicidad. Así, un polinomio de grado par con coeficientes reales puede tener, teniendo en cuenta la multiplicidad, sólo un número par de raíces reales, y uno impar sólo puede tener un número impar. $norte$ $norte$
Las raíces de un polinomio están relacionadas con sus coeficientes por las fórmulas de Vieta .

Encontrando raíces

El método para encontrar las raíces de polinomios lineales y cuadráticos en forma general, es decir, el método para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas , se conocía en el mundo antiguo. La búsqueda de una fórmula para la solución exacta de la ecuación general de tercer grado continuó durante mucho tiempo, hasta que se vio coronada por el éxito en la primera mitad del siglo XVI en las obras de Scipio del Ferro , Niccolo Tartaglia y Gerolamo Cardano . . Las fórmulas para las raíces de ecuaciones cuadráticas y cúbicas hicieron que fuera relativamente fácil obtener fórmulas para las raíces de una ecuación de cuarto grado .

El hecho de que las raíces de una ecuación general de quinto grado en adelante no se expresen usando funciones racionales y radicales de los coeficientes (es decir, que las ecuaciones en sí mismas no se pueden resolver en radicales ) fue demostrado por el matemático noruego Niels Abel en 1826 . [1] . Esto no significa en absoluto que no se puedan encontrar las raíces de tal ecuación. En primer lugar, para algunas combinaciones especiales de coeficientes, aún se pueden determinar las raíces de la ecuación (ver, por ejemplo, la ecuación recíproca ). En segundo lugar, hay fórmulas para las raíces de ecuaciones de quinto grado y superiores, que utilizan funciones especiales: elípticas o hipergeométricas (ver, por ejemplo, la raíz de Bring ).

Si todos los coeficientes de un polinomio son racionales, encontrar sus raíces conduce a encontrar las raíces de un polinomio con coeficientes enteros. Para las raíces racionales de tales polinomios, existen algoritmos para encontrar candidatos por enumeración utilizando el esquema de Horner , y cuando se encuentran raíces enteras, la enumeración se puede reducir significativamente limpiando las raíces. También en este caso, puedes usar el algoritmo polinomial LLL .

Para un hallazgo aproximado (con la precisión requerida) de las raíces reales de un polinomio con coeficientes reales, se utilizan métodos iterativos , por ejemplo, el método de la secante , el método de bisección , el método de Newton , el método de Lobachevsky-Greffe . El número de raíces reales de un polinomio en un intervalo se puede determinar mediante el teorema de Sturm .

Véase también

esquema de horner
El método de Lily es un método gráfico para encontrar las raíces reales de polinomios de grado arbitrario.
función cero

Notas

↑ Teorema de Abel en problemas y soluciones - M.: MTSNMO, 2001. - 192 p. . Consultado el 9 de noviembre de 2011. Archivado desde el original el 22 de enero de 2021. (indefinido)

Literatura

Vinberg E. B. Álgebra de polinomios. - M. : Educación, 1980. - 176 p.
Polinomios VV de Prasolov . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 p. — ISBN 5-94057-077-1 .