Formas diferenciales en electromagnetismo

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Las formas diferenciales en el electromagnetismo es una de las posibles formulaciones matemáticas de la electrodinámica clásica utilizando formas diferenciales en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Considere la forma 2 de Faraday correspondiente al tensor de campo electromagnético :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Esta forma es la forma de curvatura del fibrado principal trivial con el grupo estructural U(1) , mediante el cual se pueden describir la electrodinámica clásica y la teoría de gauge . La forma de 3 de la corriente , dual al vector de 4 de la corriente, tiene la forma

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ cuña {{\mathrm d}}x^{d}.

En esta notación , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de manera muy compacta como

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

\mathrm {d} \,{*{\textbf {F}}}={*{\textbf {J}}}

donde está el operador estrella de Hodge . La geometría de la teoría general de calibre se puede describir de manera similar. $*$

La forma 2 también se llama forma 2 de Maxwell . $*{\mathbf{F}}$

Literatura

Arnold V. I. Métodos matemáticos de la mecánica clásica, M.: Editorial URSS, 2003. - ISBN 5-354-00341-5
Cartan A. Cálculo diferencial. formas diferenciales. M.: Mir, 1971
Ecuaciones y formas diferenciales de Bolibrukh A. A. Maxwell , MTsNMO, 2002.

Véase también

Tensor diádico _ _ _
Tensor de dos elementos ( ing. Tensor diádico )
Multiplicación de tensores de dos elementos ( ing. Producto diádico )
Cuaternio
Álgebra externa