Intervalo de confianza para la varianza muestral normal

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Caso medio conocido

Sea una muestra independiente de una distribución normal , donde es la media conocida . Definamos un intervalo de confianza arbitrario y construyamos para una varianza desconocida . $X_{1},\ldots,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\alfa \en[0,1]$ $\alfa$ $\sigma^{2}$

Declaración. Valor aleatorio

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}

tiene una distribución . Sea — el cuantil de esta distribución . Entonces tenemos: $\chi ^{2}(n)$ $\chi _{\alfa, n}^{2}$ $\alfa$

\mathbb {P} \left(\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2}\leqslant H\leqslant \chi_{{\frac {\alpha {2}},n}^{2}\derecha)=1-\alfa

Después de sustituir la expresión por y transformaciones algebraicas simples, obtenemos: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}}{\chi _{{\ frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}(X_{i }-\mu )^{2)){\chi _{1-{\frac {\alpha }{2)),n}^{2))}\right)=1-\alpha

El caso del medio desconocido

Sea una muestra independiente de una distribución normal, donde y son constantes desconocidas. Construyamos un intervalo de confianza para la varianza desconocida . $X_{1},\ldots,X_{n}\sim {\mathcal {N}}(\mu,\sigma ^{2})$ $\mu$ $\sigma^{2}$ $\sigma^{2}$

Teorema de Fisher para muestras normales . Valor aleatorio

H={\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}}

donde es la varianza muestral imparcial , tiene una distribución . Entonces tenemos: $S^{2}$ $\chi^{2}(n-1)$

\mathbb {P} \left(\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1}^{2}\leqslant H\leqslant \chi_{1-{\frac { \alfa {2}},n-1}^{2}\derecha)=1-\alfa

Después de sustituir la expresión por y transformaciones algebraicas simples, obtenemos: $H$

\mathbb {P} \left({\frac {(n-1)S^{2}}{\chi _{1-{\frac {\alpha }{2}},n-1}^ {2))}\leqslant \sigma ^{2}\leqslant {\frac {(n-1)S^{2)){\chi _({\frac {\alpha }{2)),n-1 }^{2}}}\right)=1-\alpha

Enlaces

http://www.graphpad.com/guides/prism/6/statistics/index.htm?stat_confidence_interval_of_a_stand.htm _