Varianza de la muestra

La varianza muestral en estadística matemática es una estimación de la varianza teórica de una distribución calculada a partir de datos muestrales. Tipos de varianzas muestrales:

desplazado;
sin cambios o corregido

Definiciones

Sea una muestra de la distribución de probabilidad . Después $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$

la varianza muestral es una variable aleatoria

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac { 1}{n}}\suma \limites _{{i=1}}^{n}X_{i}\right)^{2}

donde el símbolo denota la media muestral ; ${\bar {X}}$

la varianza imparcial (corregida) es una variable aleatoria

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits_{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ derecha)^{2}

Nota

Obviamente,

S^{2}={\frac{n}{n-1}}S_{n}^{2}

Propiedades de las varianzas muestrales

La varianza muestral es la varianza teórica de la distribución muestral . Más precisamente, sea la función de distribución muestral de la muestra dada. Entonces, para cualquier función fija es una función de distribución discreta (no aleatoria) . La varianza de esta distribución es . ${\ sombrero {F}} (x)$ $\omega \en \Omega$ ${\sombrero {F}}(\omega,x)$ $S_{n}^{2}(\omega)$

Ambas varianzas muestrales son estimaciones consistentes de la varianza teórica. si , entonces ${\mathrm {D}}[X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$

S_{n}^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))\;\sigma ^{2}

S^{2}\to ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))\;\sigma ^{2}

donde el símbolo " " $\a ^{{\!\!\!\!\!\!{\mathbb {P))))$ denota convergencia en probabilidad .

La varianza muestral es una estimación sesgada de la varianza teórica, mientras que la varianza muestral corregida es imparcial:

{\mathbb {E}}\left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}

{\mathbb {E}}\left[S^{2}\right]=\sigma^{2}

La varianza muestral de una distribución normal tiene una distribución chi-cuadrado . deja _ Después $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots$

(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\ sim\chi^{2}(n-1)

Varianza de la muestra

Definiciones

Nota

Propiedades de las varianzas muestrales

Véase también