Fracciones egipcias

Fracción egipcia : en matemáticas , la suma de varias fracciones diferentes por pares de la forma (las llamadas fracciones alícuotas ). En otras palabras, cada fracción de la suma tiene un numerador que es igual a uno y un denominador que es un número natural . ${\ fracción {1}{n}}$

Ejemplo: . ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}$

Una fracción egipcia es un número racional positivo de la forma a / b ; por ejemplo, la fracción egipcia escrita arriba podría escribirse como 43/48. Se puede demostrar que todo número racional positivo se puede representar como una fracción egipcia (generalmente, en un número infinito de formas [1] ). Este tipo de suma fue utilizada por los matemáticos para escribir fracciones arbitrarias desde la época del antiguo Egipto hasta la Edad Media . En las matemáticas modernas, las fracciones simples y decimales se usan en lugar de las fracciones egipcias , sin embargo, las fracciones egipcias continúan siendo estudiadas en la teoría de números y la historia de las matemáticas .

Historia

Antiguo Egipto

Para obtener más información sobre este tema, consulte Números egipcios , Matemáticas en el antiguo Egipto .

Las fracciones egipcias fueron inventadas y utilizadas por primera vez en el antiguo Egipto . Una de las primeras referencias conocidas a las fracciones egipcias es el papiro matemático de Rhinda . Tres textos más antiguos que mencionan fracciones egipcias son el Rollo de cuero matemático egipcio , el Papiro matemático de Moscú y la Tablilla de madera de Akhmim. El Papiro Rinda fue escrito por el escriba Ahmes durante la era del Segundo Período Intermedio ; incluye una tabla de fracciones egipcias para números racionales de la forma 2/ n , así como 84 problemas matemáticos, sus soluciones y respuestas escritas en fracciones egipcias.

Los egipcios usaban el jeroglífico

( ep , "[uno] de" o re , rot) sobre un número para representar una fracción unitaria en notación convencional, mientras que una línea se usaba en textos hieráticos . Por ejemplo:

={\ fracción {1}{3}}

={\ fracción {1}{10}}

También tenían símbolos especiales para las fracciones 1/2, 2/3 y 3/4 (los dos últimos dígitos son las únicas fracciones no alícuotas que usaban los egipcios) que también podían usarse para escribir otras fracciones (mayores que 1 /2).

={\ fracción {1}{2}}

={\frac{2}{3))

={\frac{3}{4))

Los egipcios también utilizaron otras formas de notación, basadas en el jeroglífico Ojo de Horus , para representar un conjunto especial de fracciones de la forma 1/2 k (para k = 1, 2, ..., 6), es decir, dos -Números racionales de elementos . Tales fracciones se usaban, junto con otras formas de fracciones egipcias, para dividir el heqat ( ~4,785 litros ), la principal medida de volumen en el antiguo Egipto. Esta notación combinada también se ha utilizado para medir el volumen de cereales , pan y cerveza . Si después de registrar la cantidad en forma de fracción del Ojo de Horus quedaba algún remanente, se registraba en la forma habitual como múltiplo de rho , unidad de medida igual a 1/320 hekat.

Por ejemplo, así:

={\ fracción {1}{331}}

Al mismo tiempo, la "boca" se colocó frente a todos los jeroglíficos.

Antigüedad y Edad Media

Las fracciones egipcias continuaron siendo utilizadas en la antigua Grecia y posteriormente por matemáticos de todo el mundo hasta la Edad Media , a pesar de las observaciones de los antiguos matemáticos sobre ellas (por ejemplo, Claudio Ptolomeo habló sobre la inconveniencia de utilizar fracciones egipcias en comparación con el sistema babilónico ). El matemático Fibonacci del siglo XIII llevó a cabo un importante trabajo sobre el estudio de las fracciones egipcias en su obra " Liber Abaci ".

El tema principal de Liber Abaci son los cálculos usando fracciones decimales y comunes, que finalmente suplantaron a las fracciones egipcias. Fibonacci usó una notación compleja para las fracciones, incluida la notación de números con una base mixta y la notación como sumas de fracciones, y las fracciones egipcias se usaban a menudo. También en el libro se dieron algoritmos para convertir fracciones ordinarias a fracciones egipcias.

Algoritmo de Fibonacci

El primer método general de descomposición de una fracción arbitraria en componentes egipcios que nos ha llegado fue descrito por Fibonacci en el siglo XIII. En notación moderna, su algoritmo se puede establecer de la siguiente manera.

1. La fracción se descompone en dos términos: ${\frac{m}{n}}$

{\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n){\bmod {m}}}{n\ lceil n/m\rceil }}.

Aquí está el cociente de la división de n por m , redondeado al entero más cercano, y es el resto (positivo) de la división de − n por m . $\lceil n/m\lceil$ ${\ estilo de visualización (-n) {\ bmod {m))}$

2. El primer término del lado derecho ya tiene la forma de una fracción egipcia. De la fórmula se puede ver que el numerador del segundo término es estrictamente menor que el de la fracción original. De manera similar, usando la misma fórmula, desarrollamos el segundo término y continuamos este proceso hasta obtener el término con el numerador 1.

El método de Fibonacci siempre converge después de un número finito de pasos y da la expansión deseada. Ejemplo:

{\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\ fracción {1}{120}}.

Sin embargo, la descomposición obtenida por este método puede no ser la más corta. Un ejemplo de su aplicación fallida:

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+ {\frac{1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac{1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\ ,225}},

mientras que los algoritmos más avanzados conducen a la descomposición

{\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.

Teoría de números moderna

Los matemáticos modernos continúan explorando una serie de problemas relacionados con las fracciones egipcias.

A fines del siglo XX, se dieron estimaciones para el denominador máximo y la longitud de la expansión de una fracción arbitraria en fracciones egipcias. La fracción x / y tiene una expansión en fracciones egipcias con un denominador máximo de como máximo

O\izquierda({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\derecha)

( Tenenbaum & Yokota 1990 ) y con no más de

O\izquierda({\sqrt {\log y}}\derecha)

( Vose 1985 ).

La conjetura de Erdős-Graham establece que para cualquier coloración de números enteros mayor que 1 en r > 0 colores, existe un subconjunto monocromático finito S de números enteros para los cuales $\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$

Esta conjetura fue probada por Ernest Krut en 2003 .

Temas abiertos

Las fracciones egipcias plantean una serie de problemas matemáticos difíciles y hasta el día de hoy sin resolver.

La conjetura de Erdős-Strauss establece que para cualquier número entero n ≥ 2, hay números enteros positivos x , y y z tales que

{\frac 4n}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Los experimentos de computadora muestran que la conjetura es cierta para todo n ≤ 10 14 , pero aún no se ha encontrado ninguna prueba. Una generalización de esta conjetura establece que para todo k positivo, existe N tal que, para todo n ≥ N , existe una descomposición

{\frac {k}{n}}={\frac 1x}+{\frac 1y}+{\frac 1z}.

Esta hipótesis pertenece a Andrzej Schinzel .

Notas

↑ R. Knott . Fracciones egipcias Archivado el 2 de mayo de 2016 en Wayback Machine .

Literatura

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Enlaces

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