Problema de cobertura de rayas
El problema de la cobertura de franjas es un problema clásico en geometría combinatoria . En el caso más simple suena así:
Demuestre que un círculo de diámetro no puede ser cubierto por tiras con un ancho total menor que .
El problema de la cobertura de franjas es conocido como un ejemplo de problema en el que es conveniente pasar a dimensiones superiores a la hora de resolverlo.
Acerca de la prueba
En la versión tridimensional del problema, en lugar de franjas, se toman áreas entre planos paralelos. La solución de esta versión del problema se deriva fácilmente del hecho de que el área de la superficie lateral de la capa esférica depende solo de su altura. En particular, una esfera no se puede cubrir con capas con un espesor total menor que el diámetro de la esfera, lo que significa que una esfera tampoco.
El caso bidimensional se sigue inmediatamente de esta observación. Esta solución fue propuesta por Hugo Steinhaus .
Variaciones y generalizaciones
- En 1932, Tarski planteó la hipótesis de que si una figura convexa se puede cubrir con rayas con un ancho total de 1, entonces se puede cubrir con una sola tira de ancho 1. Töger Bang recibió una respuesta afirmativa en 1951. [una]
- Bang propuso la siguiente versión del problema sobre el ancho relativo de las franjas:
Véase también
- El teorema de Monge es otro ejemplo clásico de enunciado en cuya demostración es útil aumentar la dimensión del espacio.
Notas
- ↑ King, Jonathan L. Tres problemas en busca de una medida // Amer . Matemáticas. Mensual : diario. - 1994. - vol. 101 . - Pág. 609-628 . -doi : 10.2307/ 2974690 .
Literatura
- IM Yaglom. T. Bang - V. Hinojo. Solución de un problema de tapado de figuras convexas // Matem. iluminación, ser. 2.- 1957.- N° 1 . - S. 214-218 .
- R. Alejandro. Un problema sobre rectas y óvalos // The American Mathematical Monthly. - 1968. - vol. 75 , núm. 5 . - pág. 482-487 .
- Bezdek, Karoly. Revisión del problema de la tabla de Tarski // Geometría: intuitiva, discreta y convexa. - 2013. - S. 45-64 .
- Garner, Richard. Medidas de ancho relativo y el problema del tablón // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - vol. 135 , núm. 2 . - pág. 299-312 .
- Bang, Thøger (1950), Sobre el recubrimiento con tiras paralelas., Mat. Tidsskr. B. : 49–53
- Bang, Thøger (1951), Una solución del "problema del tablón" , Proc. amer Matemáticas. soc. volumen 2 (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,