Ley de Darcy

La ley de Darcy ( Henri Darcy , 1856) es la ley de filtración de líquidos y gases en un medio poroso . Históricamente, la ley fue obtenida experimentalmente por A. Darcy [1] , pero puede obtenerse promediando las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el flujo en una escala de poros [2] (en la actualidad, hay evidencia de medios porosos con un [ 3] [4] y microestructura aleatoria [5] ). Expresa la dependencia de la tasa de filtración del fluido con el gradiente de presión :

{\vec {u}}=-k{\vec {I)),

donde: - tasa de filtración, - coeficiente de filtración, - gradiente de presión [6] . $\ vec tú$ $k$ ${\vec yo}$

En hidrodinámica teórica

En mecánica continua fundamental , cuando se estudian los flujos de líquidos y gases en un medio poroso, se usa ampliamente la forma diferencial de la ley de Darcy (dada aquí para el movimiento en un campo gravitacional ):

{\vec {u}}=-{\frac {K}{\eta }}\nabla \left(\rho gz+P\right),

donde es la presión externa, es la densidad del fluido, es su viscosidad dinámica , es la aceleración gravitacional , es la coordenada vertical, es el coeficiente de permeabilidad. $PAGS$ $\rho$ $\eta$ $gramo$ $z$ $k$

La ecuación del equilibrio de poder

La ley de Darcy se puede representar como una ecuación de equilibrio de fuerzas [7] :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

donde es el campo de fuerzas externas, es la viscosidad dinámica de un líquido o gas, es el coeficiente de permeabilidad . El coeficiente de permeabilidad caracteriza la capacidad de un medio poroso para dejar pasar un fluido. $\vec f$ $\eta$ $K = \eta k / \rho g$

El sistema completo de ecuaciones de filtración para un fluido incompresible también incluye la condición de incompresibilidad :

-\nabla P-{\frac {\eta }{K}}{\vec {u}}+\rho {\vec {f}}=0,

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {div} {\ vec {u}} = 0.}

La condición de contorno necesaria para este modelo en superficies sólidas es solo la condición de impenetrabilidad.

Forma potencial de ley

A un coeficiente de permeabilidad constante, el campo de velocidad de filtración tiene un potencial escalar que permite reescribir el sistema de ecuaciones de filtración en la forma de la ecuación de Laplace [6] :

{\vec {u}}=-k\nabla h,\quad \Rightarrow \quad \exists \quad \Phi =kh,

donde esta la presion $h$

La ecuación de Laplace con la condición de contorno se sigue de la condición de incompresibilidad:

{\ estilo de visualización \ Delta \ Phi = 0,}

\left.{\frac {\parcial \Phi }{\parcial n))\right|_{S}=\left.\left({\vec {n))\cdot \nabla \Phi \right )\derecho|_{S}=0,

donde es el vector normal a la superficie. La condición de contorno en superficies sólidas es la condición de que la componente normal del gradiente sea igual a cero . ${\vec{n}}$ $\Fi$

En principio, en todas las ecuaciones anteriores, el campo de fuerzas del cuerpo y el gradiente de presión se pueden combinar, lo que se reduce a una simple renormalización de la presión.

Ámbito de aplicación de la ley de Darcy

La ley de Darcy es aplicable a la filtración de líquidos sujetos a la ley de fricción viscosa de Newton (ley de Navier-Stokes). Para la filtración de fluidos no newtonianos (como algunos aceites ), la relación entre el gradiente de presión y la tasa de filtración puede ser no lineal o no algebraica (como la diferencial).

Para los fluidos newtonianos, el alcance de la ley de Darcy se limita a tasas de filtración bajas ( los números de Reynolds , calculados a partir del tamaño de poro característico, son menores o del orden de la unidad). A velocidades más altas, la relación entre el gradiente de presión y la tasa de filtración no es lineal (una dependencia cuadrática, la ley de filtración de Forchheimer, da una buena concordancia con los datos experimentales).

Unidades de medida

La unidad SI de permeabilidad es el metro cuadrado . En aplicaciones prácticas, el darcy se usa a menudo como una unidad (1 D ≈ 10 -12 m²).

Notas

↑ Darcy Henry. Les fontaines publiques de la ville de Dijon: exposition et application des principes à suivre et des formules à empleador dans les questiones de distribution d'eau... . - París: V. Dalmont, 1856. - VII + 647 p.
↑ Leontiev NE Fundamentos de la Teoría de la Filtración . - M. : Editorial del CPI en la Facultad de Mecánica y Matemáticas de la Universidad Estatal de Moscú, 2009. - P. 24–29. — 88 pág.
↑ Bakhvalov N. S. , Panasenko G.P. Promediación de procesos en medios periódicos. — M .: Nauka, 1984. — S. 164–169. — 352 págs.
↑ Sanchez-Palencia E. Medios no homogéneos y la teoría de las oscilaciones / Pre. De inglés. edición O. A. Oleinik. - M. : Mir, 1984. - S. 176. - 472 p.
↑ Belyaev A.Yu. Promedio en Problemas de Teoría de Filtración . — M .: Nauka, 2004. — S. 76–127. — 200 s.
↑ 1 2 Polubarinova-Kochina P. Ya. Teoría del movimiento de las aguas subterráneas. Copia de archivo fechada el 10 de marzo de 2016 en Wayback Machine - M.: Nauka, 1977. - 664 p.
↑ Basniev K. S., Kochina N. I., Maksimov M. V. Hidromecánica subterránea: un libro de texto para universidades. - M.: Nedra, 1993. - 416 p.

Enlaces

Estándar métrico de la Sociedad de Ingenieros de Petróleo (SPE) .

Véase también

Darcy es una unidad de medida de la permeabilidad .
Porosidad
la ley de Bernoulli