La estrella de Hodge es un importante operador lineal desde el espacio de q - vectores hasta el espacio de ( n − q )-formas . El tensor métrico define un isomorfismo canónico entre los espacios de q - formas y q -vectores, por lo que normalmente la estrella de Hodge es un operador del espacio de formas diferenciales de dimensión q al espacio de formas de dimensión n − q.
Este operador fue introducido por William Hodge .
Determinar la forma del volumen.
donde es un escalar no negativo en la variedad y es un símbolo completamente antisimétrico de . . Incluso en ausencia de una métrica, si , es posible determinar los componentes contravariantes de la forma del volumen.
aquí coincide el símbolo antisimétrico .
En presencia de una métrica con índices en relieve, puede diferir de por signo: . Aquí y más allá
Introducimos la operación de antisimetrización :
. La sumatoria se realiza sobre todas las permutaciones de los índices encerrados entre corchetes, teniendo en cuenta su paridad . La antisimetrización de los índices superiores se define de manera similar; es posible antisimetrizar solo sobre un grupo de índices del mismo tipo. Ejemplos: ; .Abordemos ahora la operación de convolución. Al plegar un conjunto de índices antisimétricos, es conveniente introducir la siguiente notación:
.Si el tensor es antisimétrico en los índices de colapso superior e inferior, es posible sumar sobre los índices encerrados entre paréntesis solo sobre conjuntos ordenados sin dividir por , esto se debe al hecho de que diferentes conjuntos de índices que difieren solo en el orden de los índices dan la misma contribución a la suma.
Ahora definimos los tensores:
El índice (k) indica el número de índices sobre los que se realizó la convolución. Cuando esto no pueda dar lugar a ambigüedad, se omitirá (k). Los tensores anteriores pueden diferir (o no diferir) solo por el signo.
Usando la forma de volumen y el polivector , podemos introducir una operación que transforma un polivector de un grado en una forma diferencial de un grado , y una operación inversa que transforma una forma de un grado en un polivector de un grado
Esta operación se llama estrella de Hodge o dualidad de Hodge . En componentes, se ve así:
Como y , hemos establecido una correspondencia uno a uno entre formas diferenciales de grado q y polivectores de grado nq
Además de los operadores y , introducimos un par de operadores: y , que se diferencian de ellos en el signo.
Deje que se dé una métrica en nuestra variedad de dimensión n . Denotemos .
El elemento de volumen o formulario de volumen generado por la métrica es el formulario En componentes:
Como tenemos una métrica, podemos hacer un isomorfismo canónico entre polivectores y formas diferenciales:
Por lo tanto, podemos establecer una correspondencia biunívoca entre las formas q y las formas (nq).
En polivectores , puede introducir el operador de tomar la divergencia , que reduce el grado del polivector en 1:
En presencia de una métrica, el operador de divergencia se expresa en términos del operador de derivada covariante , definido mediante una conexión simétrica consistente con la métrica :
A veces, la operación ( derivada externa ) se llama gradiente de formas diferenciales, y la operación se llama divergencia. Para una forma 1, la operación define la divergencia habitual (en presencia de una métrica, las formas diferenciales y el polivector se identifican utilizando el isomorfismo canónico )
El laplaciano de la forma está dado por:
Para un escalar (forma 0), el laplaciano es el operador de Laplace-Beltrami :
Para escalar . Si , entonces de acuerdo con la fórmula de Bochner para una métrica arbitraria en , aparecen términos adicionales que son lineales en curvatura. Entonces, en caso
donde está el tensor de Ricci construido a partir de una conexión simétrica consistente con la métrica.