Dados de Zichermann

Los dados de Zicherman [1] son ​​el único par de dados de 6 caras que contienen solo números naturales y tienen la misma distribución de probabilidad para las sumas que los dados normales.

Las caras de estos huesos están numeradas 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 1, 3, 4, 5, 6, 8.

Matemáticas

Un ejercicio común en combinatoria elemental es calcular el número de formas en que se puede obtener un valor dado con un par de dados de 6 caras (o la suma de dos tiradas). La siguiente tabla muestra el número de ocurrencias de un número dado :

norte 2 3 cuatro 5 6 7 ocho 9 diez once 12
numero de gotas una 2 3 cuatro 5 6 5 cuatro 3 2 una

Crazy Die es un ejercicio matemático de combinatoria elemental que requiere que cambies los números en las caras de un par de dados de seis caras para obtener las mismas tasas de caída de suma que en la numeración estándar. Los huesos de Zicherman son una locura, y la renumeración se hace solo por números naturales .

La siguiente tabla enumera las posibles sumas de caída en dados estándar y en dados Zicherman. Un cubo de Sicherman está coloreado para mayor claridad: 1 - 2 - 2 - 3 - 3 - 4 , y los números del segundo se dejan en negro, 1–3–4–5–6–8.

2 3 cuatro 5 6 7 ocho 9 diez once 12
Dados estándar 1+1 1+2
2+1 		1+3
2+2
3+1 		1+4
2+3
3+2
4+1 		1+5
2+4
3+3
4+2
5+1 		1+6
2+5
3+4
4+3
5+2
6+1 		2+6
3+5
4+4
5+3
6+2 		3+6
4+5
5+4
6+3 		4+6
5+5
6+4 		5+6
6+5 		6+6
huesos de sicherman 1 +1 2 +1
2 +1 		3 +1
3 +
1 1 + 3 		1 +4
2 +3
2 +3
4 +1 		1 +5
2 +4
2 +4
3 +3
3 +3 		1 +6
2 +5
2 +5
3 +4
3 +4
4 +3 		2 +6
2 +6
3 +5
3 +5
4 +4 		1 +8
3 +6
3 +6
4 +5 		2 +8
2 +8
4 +6
 3 +8
3 +8 		4 +8

Historia

Los dados de Zicherman fueron descubiertos por George Zicherman de Buffalo y publicados por Martin Gardner en 1978 en Scientific American .

Los números se pueden organizar de modo que todos los pares de números opuestos sumen 5 para el primer dado y 9 para el segundo.

Más tarde, en una carta a Zicherman, Gardner mencionó que un mago conocido por él se había anticipado al descubrimiento de Zicherman. Para generalizaciones de los dados de Zicherman a más de dos dados y otros números de caras, consulte los artículos de Broline [2] , Galyan y Rusin [3] , Brunson y Swift [4] , Fowler y Swift [5] .

Explicación matemática

Sea el dado canónico de n caras una cara de n caras cuyas caras están marcadas con números enteros [1,n], de modo que la probabilidad de que salga cada número es 1/ n . Tomemos un cubo (hexaédrico) como hueso canónico. La función generadora de lanzar tal dado es . El producto de este polinomio por sí solo da una función generadora para lanzar un par de dados: . De la teoría de polinomios circulares , sabemos que

donde d corre sobre los divisores de n y es el polinomio circular d-ésimo. Tenga en cuenta también que

.

Obtenemos así la función generadora de un hueso canónico individual de n lados

se está encogiendo Así, la factorización de la función generatriz del hueso canónico hexaédrico es

La función generadora de lanzar dos dados es igual al producto de dos copias de esta descomposición. ¿Cómo podemos descomponerlos para formar dos huesos regulares, de modo que las puntas de las caras no sean las tradicionales? Aquí correcto significa que los coeficientes no son negativos y la suma es seis, de modo que cada hueso tiene seis caras y cada cara tiene al menos un punto (es decir, el polinomio generador de cada hueso debe ser un polinomio p(x) con coeficientes positivos y p(0 ) = 0, y p(1) = 6). Solo hay una expansión de este tipo:

y

Esto nos da la distribución de puntos en las caras de un par de dados de Sicherman: {1,2,2,3,3,4} y {1,3,4,5,6,8}.

La técnica se puede extender a huesos con un número arbitrario de caras.

Véase también

Notas

  1. ↑ From Penrose Mosaics to Secure Ciphers, 1993 , p. 328.
  2. ↑ Brolina, 1979 .
  3. ↑ Gallian, Rusin, 1979 .
  4. ↑ Brunson, Swift, 1997/8 .
  5. ↑ Fowler, Swift, 1999 .

Literatura

Enlaces