Isofota

Isophote ( eng. Isophote ): una curva en una superficie iluminada que conecta puntos con el mismo brillo . Suponga que la iluminación es creada por un haz de rayos de luz paralelos, y el brillo se expresa por el producto escalar $b$

b(P)={\vec {n}}(P)\cdot {\vec {v}}=\cos \varphi \ .

${\vec{n}}(P)$ es un vector unitario normal a la superficie en el punto , y el vector es un vector unitario en la dirección de propagación de la luz. En el caso de que la luz sea perpendicular a la normal a la superficie, el punto es un punto sobre la silueta de la superficie en la dirección . Un brillo de 1 significa que el haz de luz es perpendicular a la superficie. En el plano, en el marco de la suposición de que el haz de rayos es paralelo, no habrá isófotas. $PAGS$ ${\ vec {v}}$ ${\ estilo de visualización b (P) = 0}$ $PAGS$ ${\ vec {v}}$

En astronomía, una isofoto es una curva en una imagen de un objeto que conecta puntos de igual brillo. [una]

Aplicación y ejemplo

En los sistemas de diseño asistidos por computadora, se utilizan isófotas para controlar ópticamente la suavidad de la unión de superficies. Para una superficie (dada implícita o paramétricamente) que es diferenciable suficientes veces, el vector normal depende de las primeras derivadas. En consecuencia, la diferenciabilidad de las isófotas y su continuidad geométrica son de 1 orden menos que la superficie misma. Si solo los planos tangentes son continuos en un punto de la superficie (suavidad de orden 1), entonces las isófotas tienen rupturas (suavidad de orden cero solamente).

En el siguiente ejemplo, dos superficies de Bézier que se cruzan están cubiertas por una parte de la tercera superficie. En la figura de la izquierda, la superficie de recubrimiento toca superficies Bezier con orden de suavidad 1, en la figura de la derecha, con orden de suavidad 2. De las figuras en sí, la diferencia entre las situaciones es poco visible, pero el estudio de la geometría La continuidad de las isófotas muestra: en la figura de la izquierda, las isófotas tienen rupturas (suavidad de orden 0), y en la figura de la derecha, las isófotas se ven suaves (suavidad de orden 1).

Isófotas en dos superficies de Bézier: las torceduras son visibles a la izquierda, las isófotas suaves a la derecha.

Determinación de puntos isófotas

en una superficie implícita

Para una superficie implícitamente dada con la ecuación, las isófotas satisfacen la igualdad ${\ estilo de visualización f (x, y, z) = 0}$

{\frac {\nabla f\cdot {\vec {v))}{|\nabla f|}}=c\ .

Esto significa: los puntos en la isófota con el parámetro dado representan la solución del sistema no lineal $C$

$\ f(x,y,z)=0,\qquad \nabla f(x,y,z)\cdot {\vec {v))-c\;|\nabla f(x,y,z) )|=0\ ,$

que se puede considerar como una línea de intersección de dos superficies implícitamente definidas. Con el algoritmo presentado por Bajaj y otros (ver referencias), se puede calcular un polígono a partir de puntos isófotas.

sobre una superficie definida paramétricamente

En el caso de una superficie especificada paramétricamente , la ecuación para isófotas tiene la forma ${\vec {x}}={\vec {S}}(s,t)$

{\frac {({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}}{|{\vec {S }}_{s}\times {\vec {S}}_{t}|}}=c\ ,

que es equivalente a la expresión

$\ ({\vec {S}}_{s}\times {\vec {S}}_{t})\cdot {\vec {v}}-c\;|{\vec {S} }_{s}\times {\vec {S}}_{t}|=0\ .$

Esta ecuación describe una curva implícitamente definida en el primer plano, que puede representarse usando un algoritmo adecuado y convertirse con la ayuda de puntos en la superficie. ${\ estilo de visualización {\ vec {S}} (s, t)}$

Literatura

J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung , Teubner-Verlag, Stuttgart, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , p. 31
Z. Sun, S. Shan, H. Sang et. al.: Reconocimiento biométrico , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-12483-4 , p. 158.
CL Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch, JEH Hopcroft: Tracing Surface Intersections , (1988) Comp. Geom asistido. Diseño 5, págs. 285–307.
C. T. Leondes: Sistemas de fabricación integrados y asistidos por computadora: métodos de optimización , vol. 3, World Scientific, 2003, ISBN 981-238-981-4 , pág. 209.

Notas

↑ J. Binney, M. Merrifield: Astronomía galáctica , Princeton University Press, 1998, ISBN 0-691-00402-1 , p. 178.