Pirámide icosaédrica

Pirámide icosaédrica
Diagrama de Schlegel : proyección ( perspectiva ) de una pirámide icosaédrica regular en un espacio tridimensional
Tipo de	Pirámide poliédrica
Símbolo Schläfli	( ) ∨ {3,5}
células	21
caras	cincuenta
costillas	42
picos	13
politopo dual	pirámide dodecaédrica

Una pirámide icosaédrica es un poliedro de cuatro dimensiones (policélula): una pirámide poliédrica que tiene un icosaedro como base .

Descripción

Limitado a 21 celdas tridimensionales: 20 tetraedros y 1 icosaedro . La celda icosaédrica está rodeada por los veinte tetraédricos; cada celda tetraédrica está rodeada por una celda icosaédrica y tres tetraédricas.

Sus 50 caras bidimensionales son triángulos . 20 caras separan las células icosaédricas y tetraédricas, las 30 restantes son dos tetraédricas.

Tiene 42 costillas. Tres caras y tres celdas (icosaédricas y dos tetraédricas) convergen en 30 aristas, cinco caras y cinco celdas cada una (solo tetraédrica) en las 12 restantes.

Tiene 13 picos. En 12 vértices convergen 6 aristas, 10 caras cada una, y 6 celdas cada una (icosaédrica y cinco tetraédrica); 1 vértice tiene 12 aristas, 30 caras y las 20 celdas tetraédricas.

Pirámide icosaédrica isoédrica

Si todas las aristas de una pirámide icosaédrica tienen la misma longitud , entonces sus caras son triángulos regulares iguales . El hipervolumen tetradimensional y la hiperárea tridimensional de la superficie de dicha pirámide se expresan, respectivamente, como $a$

V_{4}={\frac {5}{96}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a^{4}\aprox. 0{,}1685452a^{4},

S_{3}={\frac {5}{12}}\left(3+4{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\aproximadamente 4 {,}5387176a^{3}.

Entonces la altura de la pirámide será

H={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)a\approx 0{,}3090170a,

el radio de la hiperesfera descrita (pasando por todos los vértices de la multicelda) -

R={\frac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\aprox. 1{,}6180340a,

el radio de la hiperesfera exterior semi-inscrita (tocando todos los bordes en sus puntos medios) —

\rho _{1}={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;a\aprox. 1{,}5388418a,

radio de la hiperesfera interior semi-inscrita (tocando todas las caras en sus centros) —

\rho _{2}={\frac {1}{6}}\left({\sqrt {15}}+3{\sqrt {3}}\right)a\aprox. 1{,}5115226a ,

radio de la hiperesfera inscrita (tocando todas las celdas) —

r={\frac {\left(4{\sqrt {2}}-5\right)\left(2+{\sqrt {5}}\right)-1}{12}}\;a \aprox. 0{,}1485399a.

El centro de la hiperesfera inscrita está ubicado dentro de la pirámide, los centros de la hiperesfera circunscrita y ambas semi-inscritas están ubicados en el mismo punto fuera de la pirámide.

Tal pirámide se puede obtener tomando el casco convexo de cualquier vértice de una celda de seiscientas y los 12 vértices adyacentes conectados a ella por un borde.

El ángulo entre dos celdas tetraédricas adyacentes será el mismo que en una celda de seiscientos. El ángulo entre una celda icosaédrica y cualquier celda tetraédrica será $\arccos \left(-{\frac {1+3{\sqrt {5}}}{8}}\right)\approx 164{,}48^{\circ },$ $\arccos {\frac {\sqrt {7+3{\sqrt {5)))){4}}\approx 22{,}24^{\circ }.$

En coordenadas

Una pirámide icosaédrica isoédrica con una longitud de arista se puede colocar en un sistema de coordenadas cartesianas de modo que sus vértices tengan coordenadas $2$

$\left(0;\;\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0\right),$
$\left(\pm \Phi ;\;0;\;\pm 1;\;0\right),$
$\left(\pm 1;\;\pm \Phi ;\;0;\;0\right),$
$\left(0;\;0;\;0;\;\Phi ^{-1}\right),$

donde es la razón de la sección áurea . $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Enlaces

Richard Klitzing. Pirámide icosaédrica