Índice de puntos singulares

El índice de un punto singular de un campo vectorial es un concepto matemático relacionado con la topología diferencial, la geometría diferencial, la teoría de sistemas dinámicos y la teoría de ecuaciones diferenciales. Es una característica topológica de un punto singular aislado de un campo vectorial y se define como el grado del mapeo gaussiano en un punto dado.

Definición

Sea dado el campo vectorial en una vecindad del punto , que es un punto singular aislado de este campo, es decir , para todos en una vecindad suficientemente pequeña del punto . El índice de punto singular (denotado ) es el grado del mapeo gaussiano de una esfera bidimensional con un centro de radio suficientemente pequeño , elegido de modo que el campo en ella no desaparezca, en una esfera . Es decir, el mapeo gaussiano se define mediante la fórmula: ${\ estilo de visualización \ xi (x)}$ $x_{0}\en \mathbb{R} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ xi (x_ {0}) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ xi (x) \ neq 0}$ ${\displaystyle x\neq x_{0))$ $x_{0}$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {ind} _ {x_ {0}} \ xi}$ $(n-1)$ ${\ Displaystyle S_ {\ varepsilon}^{n-1}}$ $x_{0}\en \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$ $\xi$ ${\ Displaystyle S_ {1}^ {n-1}}$ $f_{x_{0}}:S_{\varepsilon}^{n-1}\to S_{1}^{n-1}$ $f_{x_{0}}(x)={\frac {\xi (x)}{|\xi (x)|}}\quad \forall \ x\in S_{\varepsilon }^{n -una}.$

Propiedades y ejemplos

Un punto singular de un campo vectorial se llama no degenerado si cumple la condición $x_{0}$ ${\ estilo de visualización \ xi (x)}$

\Delta =\operatorname {det} \left({\frac {\parcial \xi ^{\alpha }}{\parcial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{ 0}}\right)\neq 0.

Un punto singular no degenerado siempre está aislado y su índice es igual al signo del determinante . $\Delta$

Los valores propios de la matriz anterior (la matriz de la parte lineal del campo en un punto dado) se denominan raíces de un punto singular no degenerado. Para campos de gradiente, el índice de un punto singular no degenerado es el mismo que el signo de la arpillera : ${\ estilo de visualización \ lambda _ {1}, \ puntos, \ lambda _ {n}}$ ${\displaystyle \xi ^{\alpha }={\tfrac {\parcial f}{\parcial x^{\alpha ))))$

{\displaystyle \operatorname {ind} _{x_{0}}\xi =\operatorname {sgn} {\Bigg |}\left({\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x^{\ alfa }\parcial x^{\beta }}}{\Biggr |}_{x=x_{0}}\right){\Bigg |}=(-1)^{i(x_{0}})) )

donde es el número de cuadrados negativos en la representación canónica de la forma cuadrática . ${\ estilo de visualización i (x_ {0})}$ $d^{2}f{\bigr |}_{x=x_{0))$

En un espacio euclidiano bidimensional, el índice de puntos singulares no degenerados que forman el centro (todas las raíces son imaginarias), el nodo (todas las raíces son reales del mismo signo), el foco (las raíces son complejas conjugadas) es , para puntos silla (raíces reales de distinto signo) el índice es . $una$ $-una$

Véase también

Literatura

Arnold V. I. Ecuaciones diferenciales ordinarias. - Cualquier edición.
Dubrovin B. A. , Novikov S. P. , Fomenko A. T. Capítulo 3, §14, ítem 4. Índice de un punto singular de un campo vectorial // Geometría moderna. - 4ª ed. - M. : Editorial URSS, 1998. - T. Tomo 2. Geometría y topología de variedades. - S. 90-92. — 280 s. - 1000 copias. Copiar. - ISBN 5-901006-27-5 .
Milnor J., Wallace A. Topología diferencial. Curso inicial. M: Mir, 1972.
M. I. Voitsekhovsky. Índice de puntos singulares // Enciclopedia matemática. - Enciclopedia soviética . - M. , 1977-1985. (Ruso)

Índice de puntos singulares

Definición

Propiedades y ejemplos

Véase también

Literatura

Notas