Funciones de arpillera

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 24 de diciembre de 2021; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

La hessiana de una función es una forma cuadrática simétrica [1] que describe el comportamiento de una función en el segundo orden.

Para una función dos veces derivable en un punto $F$ $x\en \mathbb{R} ^{n}$

H(x)=\sum_{{i=1}}^{n}\sum_{{j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}x_{j}

H(z)=\sum_{{i=1}}^{n}\sum_{{j=1}}^{n}a_{{ij}}z_{i}\overline {z}_{ j}

donde (o ) y la función se define en el espacio real -dimensional (o espacio complejo ) con coordenadas (o ). En ambos casos, la arpillera es una forma cuadrática dada en el espacio tangente , que no cambia bajo transformaciones lineales de las variables. El Hessian también se llama a menudo el determinante de una matriz, ver más abajo. $a_{{ij}}=\parcial ^{2}f/\parcial x_{i}\parcial x_{j}$ $a_{{ij}}=\parcial ^{2}f/\parcial z_{i}\parcial \overline {z}_{j}$ $F$ $norte$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $x_{1},\ldots,x_{n}$ $z_{1},\ldots,z_{n}$ ${\ estilo de visualización (a_ {ij}),}$

Matriz de arpillera

La matriz de esta forma cuadrática está formada por las segundas derivadas parciales de la función. Si todas las derivadas existen, entonces

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{1}^{2))}&{\frac {\parcial ^{2}f}{ \parcial x_{1}\,\parcial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{1}\,\parcial x_{n}}}\ \\\{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{2}\,\parcial x_{1))}&{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{2}\,\parcial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{n}\,\parcial x_{1))}&{\frac {\parcial ^{2} f}{\parcial x_{n}\,\parcial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\parcial ^{2}f}{\parcial x_{n}^{2}}}\end {bmatriz}}

El determinante de esta matriz se llama determinante hessiano , o simplemente hessiano . .

Las matrices hessianas se utilizan en problemas de optimización por el método de Newton . El cálculo completo de la matriz hessiana puede ser difícil, por lo que se han desarrollado algoritmos cuasi-newtonianos basados en expresiones aproximadas para la matriz hessiana. El más famoso de ellos es el algoritmo Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno .

Simetría de la matriz Hessiana

Las derivadas mixtas de la función f son los elementos de la matriz hessiana que no están en la diagonal principal . Si son continuos, entonces el orden de diferenciación no es importante:

{\frac {\parcial }{\parcial x_{i))}\left({\frac {\parcial f}{\parcial x_{j))}\right)={\frac {\parcial }{\parcial x_{j))}\left({\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}\right)

Esto también se puede escribir como

f_{{x_{i}x_{j}}}=f_{{x_{j}x_{i}}},\quad \forall i,j\in \{1,\ldots,n\}.

En este caso, la matriz hessiana es simétrica .

Puntos críticos de una función

Si el gradiente (su vector derivado ) es cero en algún punto , entonces este punto se llama crítico . Una condición suficiente para la existencia de un extremo en este punto es la definición de signo de la hessiana f (entendida en este caso como una forma cuadrática), a saber: $F$ $x_{0}$

si la hessiana es definida positiva, entonces es el punto mínimo local de la función , $x_{0}$ $f(x)$
si la hessiana es definida negativa, entonces es el punto máximo local de la función , $x_{0}$ $f(x)$
si el hessiano no tiene un signo definido (toma valores tanto positivos como negativos) y no es degenerado , entonces es el punto de silla de la función . $(\det H(f)\neq 0)$ $x_{0}$ $f(x)$

Variaciones y generalizaciones

Funciones vectoriales

Si es una función vectorial , es decir, $F$

f=(f_{1},f_{2},\puntos,f_{n}),

entonces sus segundas derivadas parciales no forman una matriz, sino un tensor de rango 3, que puede considerarse como una matriz de matrices hessianas: $norte$

H(f)=\left(H(f_{1}),\ldots,H(f_{n})\right).

En , este tensor degenera en la matriz hessiana habitual. $n=1$

Arpillera rayada

Al resolver el problema de encontrar un extremo condicional de una función con restricciones $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$

\left\{{\begin{matriz}{c}g_{1}(x)=0,\\\vdots \\g_{m}(x)=0,\end{matriz}}\right .

donde , , para verificar condiciones suficientes para un extremo, se puede utilizar la llamada Hessiana bordeada de la función de Lagrange , que tendrá la forma [2] $x \in \mathbb{R}^n$ $m<n$ ${\ estilo de visualización L (x, \ lambda)}$

\left({\begin{array}{cc}{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x^{2))}&{\dfrac {\parcial ^{2}L} {\parcial x\parcial \lambda }}\\\left({\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x\parcial \lambda }}\right)^{\mathrm {T} }&{ \dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial \lambda ^{2))}\end{matriz}}\right)=\left({\begin{matriz}{cccccc}{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}^{2))}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}\parcial x_{n))} &{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m}}{\parcial x_{1}}}\\\vdots & \ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{n}\parcial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{n}^{2}}}&{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{n}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m)){\parcial x_{n))}\\{\dfrac {\parcial g_{1)){\parcial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_ {1}}{\parcial x_{n}}}&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\parcial g_{m}}{ \parcial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m)){  \parcial x_{n}}}&0&\ldots &0\end{matriz}}\right).

La verificación de condiciones extremas suficientes consiste en calcular los signos de los determinantes de un determinado conjunto de submatrices de la arpillera bordeada. Es decir, si existen tales que y ${\displaystyle x^{*}\en \mathbb {R} ^{n))$ ${\displaystyle \lambda ^{*}\in \mathbb {R} ^{m))$ $\nabla L(x^{*},\lambda^{*})=0$

(-1)^{m}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}^ {2}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}\parcial x_{p}}}&{\dfrac {\parcial g_{1}}{\ parcial x_{1))&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m)){\parcial x_{1))}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{p}\parcial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m}}{\parcial x_{p ) )}\\{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{p}}}&0& \ ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\parcial g_{m)){\parcial x_{1))}&\ldots &{\ dfrac {\parcial g_{m}}{\parcial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{matriz}}\right)>0

para , entonces la función tiene un mínimo condicional estricto en el punto . Si $p=m+1,\ldots,n$ $x^{*}$ $F$

(-1)^{p}{\mbox{det}}\left({\begin{array}{cccccc}{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}^ {2}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{1}\parcial x_{p}}}&{\dfrac {\parcial g_{1}}{\ parcial x_{1))&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m)){\parcial x_{1))}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{p}\parcial x_{1))}&\ldots &{\dfrac {\parcial ^{2}L}{\parcial x_{ p }^{2}}}&{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{p}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{m}}{\parcial x_{p ) )}\\{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{1}}}&\ldots &{\dfrac {\parcial g_{1}}{\parcial x_{p}}}&0& \ ldots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\parcial g_{m)){\parcial x_{1))}&\ldots &{\ dfrac {\parcial g_{m}}{\parcial x_{p}}}&0&\ldots &0\end{matriz}}\right)>0

para , entonces en el punto la función tiene un máximo condicional estricto [3] . $p=m+1,\ldots,n$ $x^{*}$ $F$

Historia

El concepto fue introducido por Ludwig Otto Hesse ( 1844 ), quien usó un nombre diferente. El término "arpillera" fue acuñado por James Joseph Sylvester .

Véase también

jacobiano
Punto crítico (matemáticas)
Morse lema
El criterio de Sylvester es un criterio para la definición positiva o negativa de una matriz cuadrada

Notas

↑ Arpillera . Consultado el 2 de abril de 2016. Archivado desde el original el 15 de abril de 2016. (indefinido)
↑ Hallam, Arne Econ 500: Métodos cuantitativos en análisis económico I. Estado de Iowa (7 de octubre de 2004). Consultado el 14 de abril de 2021. Archivado desde el original el 19 de abril de 2021. (indefinido)
↑ Neudecker, Heinz. Cálculo diferencial matricial con aplicaciones en estadística y econometría / Heinz Neudecker, Jan R. Magnus. - Nueva York: John Wiley & Sons , 1988. - Pág. 136. - ISBN 978-0-471-91516-4 .

Enlaces

Kamynin L. I. Análisis matemático. T. 1, 2. - 2001.
Kudryavtsev L.D. “Un curso breve de análisis matemático. T.2. Cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables. Análisis armónico”, FIZMATLIT, 2002, 424 p. — ISBN 5-9221-0185-4 . O cualquier otra edición.
Golubitsky M., Guillemin V. Mapeos estables y sus singularidades, - M.: Mir, 1977.

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

Temas relacionados