Fórmulas de interpolación de Newton

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Las fórmulas de interpolación de Newton son fórmulas matemáticas computacionales utilizadas para la interpolación de polinomios .

Fórmulas

Se dan unos puntos distintos por pares , también llamados nodos de interpolación, y se conocen los valores de alguna función en estos puntos. ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots,\,x_{n))$ $f(x_{0}),\,f(x_{1}),\,\ldots,\,f(x_{n})$ $F$

El caso de nodos desiguales

Si todas las distancias entre los nodos vecinos son diferentes, entonces el polinomio de Newton se construye de acuerdo con la fórmula [1]

P_{n}(x)=f(x_{0})+(x-x_{0})f(x_{0};x_{1})+(x-x_{0})(x -x_{1})f(x_{0};x_{1};x_{2})+\ldots +(x-x_{0})\ldots (x-x_{n-1})f(x_ {0};\ldots;x_{n}),

donde es la diferencia de orden dividida . $f(x_{0};\ldots;x_{n})$ $norte$

Usando las propiedades de la diferencia dividida, se puede demostrar que el polinomio anterior realmente resuelve el problema de interpolación : [2]

Sea el polinomio de interpolación de Lagrange para los puntos . entonces _ ${\ estilo de visualización L_ {k} (x)}$ ${\displaystyle x_{0},\,x_{1},\,\ldots,\,x_{k))$ $L_{n}(x)=L_{0}(x)+(L_{1}(x)-L_{0}(x))+\ldots +(L_{n}(x)-L_ {n-1}(x))$

Considere : $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)$

$L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=\sum_{i=0}^{k}f(x_{i})*\prod_{j=0,j \neq i}^{k}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j))}}-\sum _{i=0}^{k-1} f(x_{i})*\prod _{j=0,j\neq i}^{k-1}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j })}}=$

$=\sum _{i=0}^{k-1}f(x_{i})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots (x-x_{i-1} )*(x-x_{i+1})\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{i}-x_{0})*\ldots *(x_{i}-x_{ i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*\ldots *(x_{i}-x_{k-1})}}*({\frac {x-x_{k} {x_{i}-x_{k}}}-1)+$

$+f(x_{k})*{\frac {(x-x_{0})*\ldots *(x-x_{k-1})}{(x_{k}-x_{0} )*\ldots *(x_{k}-x_{k-1})}}$ .

Por otro lado, la diferencia de dos polinomios de interpolación de Lagrange es un polinomio de grado , y sus raíces son conocidas - . $k-1$ ${\ estilo de visualización x_{0},x_{1},x_{2},...,x_{k-1))$

De acuerdo con el teorema de Bezout, obtenemos: . $L_{k}(x)-L_{k-1}(x)=a*(x-x_{0})*...*(x-x_{k-1})$

Encontramos : dejar $a$ ${\ Displaystyle x = x_ {k}}$

$a=\sum _{i=0}^{k}{\frac {f(x_{i})}{(x_{i}-x_{0})*...*(x_{i }-x_{i-1})*(x_{i}-x_{i+1})*...*(x_{i}-x_{k})}}=f(x_{0};x_ {1};...;x_{k})$

Después de sustituir el resultado en , obtenemos . $L_n(x)$ $p_n(x)$

Así, se demuestra que el polinomio de Newton en el caso de nodos desigualmente espaciados coincide con el polinomio de interpolación de Lagrange, y por lo tanto resuelve el problema de interpolación.

El caso de los nodos equidistantes

Si los nodos vecinos están a una distancia fija entre sí , es decir , entonces el polinomio de Newton se puede construir a partir de (en este caso, se habla de "interpolación hacia adelante") o de ("interpolación hacia atrás"). $h$ $x_{i}=x_{0}+ih$ $i=0,\ldots,n$ $x_{0}$ $x_{n}$

En el primer caso, la fórmula del polinomio de Newton toma la forma [3]

P_{n}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q(q-1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{0} +\ldots +{\frac {q(q-1)\ldots (q-n+1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

donde , y expresiones de la forma son diferencias finitas . $q=(x-x_{0})/h,\;y_{i}=f(x_{i})$ $\Delta ^{k}y_{0}$

En el segundo caso, la fórmula toma la forma [4]

P_{n}(x)=y_{n}+q\Delta y_{n-1}+{\frac {q(q+1)}{2!}}\Delta ^{2}y_{ n-2}+\ldots +{\frac {q(q+1)\ldots (q+n-1)}{n!}}\Delta ^{n}y_{0},

donde _ $q=(x-x_{n})/h$

Para , la fórmula $h=1$

P_{n}(x)=\sum_{{m=0}}^{{n}}C_{x}^{m}\sum_{{k=0}}^{m}(-1) ^{{mk}}\,C_{m}^{k}\,f(k)

donde son los coeficientes binomiales generalizados al dominio de los números reales . $C_{x}^{m}$

Resto

El polinomio de Newton es una de las formas del polinomio de Lagrange , por lo que los términos restantes de estas fórmulas son iguales [5] . Sin embargo, el término restante de la fórmula de Newton se puede escribir de otra forma: $R_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x)$

para el caso de nodos desigualmente espaciados [5] :

R_{n}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n})f(x_{0};\ldots ;x_{n }).

Si la función tiene una derivada de orden , entonces donde es algún punto que pertenece al intervalo más pequeño que contiene todos los nodos de interpolación.

F

n+1

f(x_{0};\ldots ;x_{n})={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!)),

\xi

para el caso de nodos equidistantes:

para interpolación directa [6] :

R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q-1)(q -2)\ldots(qn).

para interpolar hacia atrás [7] :

R_{n}={\frac {h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}q(q+1)(q +2)\ldots(q+n).

Véase también

Notas

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 107.
↑ Berezin, IS (Iván Semenovich). Métodos de cálculo. . — Nauka, Glav. rojo. fiziko-matematicheskoĭ lit-ry, 1966-.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 119.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 121.
↑ 1 2 Berezin, Zhidkov, 1962 , p. 109.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 122.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 123.

Literatura

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. - 2ª ed. -M.:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Ruso)