Trabajo deformado

El producto curvo de variedades riemannianas y pseudo-riemannianas es una generalización del producto directo .

Definición

Sean y dos variedades pseudo-riemannianas y una función positiva suave. Entonces el producto con la métrica se llama producto curvo y por la función . Más precisamente, el espacio tangente se puede identificar con el producto de espacios tangentes , y por lo tanto es posible considerar una suma directa de formas cuadráticas sobre él, y se define como un tensor métrico en un punto . ${\ estilo de visualización B = (B, g)}$ ${\ estilo de visualización F = (F, h)}$ $f\dos puntos B\to \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización B \ veces F}$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ ${\ estilo de visualización B = (B, g)}$ ${\ estilo de visualización F = (F, h)}$ $F$ $\mathrm {T}_{(b,x)}(B\veces F)$ $\mathrm {T}_{b}B\times \mathrm {T}_{x}F$ $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ ${\ estilo de visualización (b, x)}$

El producto torcido generalmente se denota por . $(B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ $F{\mathrel {{\times}_{f))}B$

La función también se llama función warp . El espacio se llama la base, y el espacio se llama la capa del producto curvo . $F$ ${\ estilo de visualización B = (B, g)}$ ${\ estilo de visualización F = (F, h)}$ $F{\mathrel {{\times}_{f))}B$

Propiedades

Cada capa en es isométrica . $b\veces F\subconjunto B\veces F$ $F{\mathrel {{\times}_{f))}B$ $f(b)\cdot F=(F,f^{2}(b)\cdot h)$
Cada nivel es globalmente isométrico a la base . $B\veces x\subconjunto B\veces F$ ${\ estilo de visualización B = (B, g)}$
Las distancias entre puntos están completamente determinadas por la base , dos puntos , una función y la distancia entre y en la capa . $(b_{1},x_{1}),(b_{2},x_{2})\in F{\mathrel {{\times }_{f))}B$ ${\ estilo de visualización B = (B, g)}$ ${\ estilo de visualización b_ {1}, b_ {2} \ en B}$ $f\dos puntos B\to \mathbb {R}$ $x_{1}$ $x_{2}$ $F$

Ejemplos

El producto curvo es isométrico al plano de Lobachevsky . $\mathbb {R} {\mathrel {{\times}_{\exp ))}\mathbb {R}$
La superficie de revolución siempre es isométrica al producto alabeado para alguna función de alabeo y un intervalo real . $\mathbb {S} ^{1}{\mathrel {{\times}_{f))}\mathbb {I}$ ${\ matemáticas {yo}}$
Muchas soluciones de la ecuación de Einstein se pueden representar como productos curvos, por ejemplo,
- Métrica de Schwarzschild ,
- El universo de Friedman .

Variaciones y generalizaciones

El producto curvo se generaliza de forma natural a productos de espacios métricos con métrica intrínseca . [una]

Notas