Cuasi-variedad

Una cuasi -variedad (del latín quas (i) “como”, “algo así”) en álgebra universal es una clase de sistemas algebraicos de firma fija , axiomatizados por un conjunto de cuasi-identidades ( disyunciones de Horn ).

A diferencia de las variedades , que son clases de sistemas algebraicos axiomatizados por identidades, los métodos de teoría de modelos juegan un papel especial en la teoría de las cuasivariedades, mientras que las variedades se consideran principalmente para álgebras (sistemas algebraicos sin relaciones en la firma) y se estudian mediante métodos algebraicos generales. [1] .

Definiciones

Para un sistema algebraico con un conjunto de operaciones y relaciones , las fórmulas de la forma se consideran cuasi -atómicas: ${\mathfrak {A}}=\langle A,F,R\rangle$ $F=\langle f_{1}:A^{n_{1}}\a A,\dots f_{i}:A^{n_{i}}\a A,\dots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}},\dots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\dots \rangle$

$r_{i}(f_{j1}(x_{1},\puntos,x_{n_{j))),\puntos,f_{km_{i))(x_{k1},\puntos,x_ {n_{k}})))$ (o en notación de relación: ), $(f_{j1}(x_{1},\puntos x_{n_{j))),\puntos,f_{km_{i))(x_{k1},\puntos,x_{n_{k} }))\en r_{i}$
$f_{j}(x_{1},\puntos,x_{n_{j)))=f_{k}(x_{1},\puntos,x_{n_{k))))$ ,

donde , y son símbolos de variables. (A veces, la igualdad se incluye en la firma de un sistema algebraico como una relación, en cuyo caso son suficientes las fórmulas del primer tipo). $r_i \in R$ $f_i \in F$ $x_{yo}$

Las cuasi -identidades son fórmulas de la forma:

{\displaystyle \forall x_{1},\dots,x_{k}\,{\big (}{\mathcal {F}}_{1}\land \dots \land {\mathcal {F}}_{ m}\Rightarrow {\mathcal {F}}_{m+1}{\big )))

donde son fórmulas cuasi-atómicas con variables . Una cuasivariedad es una clase de sistemas algebraicos definidos por un conjunto de cuasiidentidades. $\mathcal F_i$ $x_1,\puntos x_k$

Propiedades características

Cualquier variedad de sistemas algebraicos es una cuasi-variedad debido al hecho de que cualquier identidad (a partir de una fórmula cuasi-atómica) puede ser reemplazada, por ejemplo, por una cuasi-identidad equivalente a ella [2] . $\forall x_{1},\dots,x_{n}\,{\mathcal {F))(x_{1},\dots x_{n})$ ${\displaystyle \forall x_{1},\dots,x_{n}\,{\big (}x_{1}=x_{1}\Rightarrow {\mathcal {F))(x_{1},\dots ,x_{n}){\grande )))$

Si una cuasivariedad es finitamente axiomatizable, entonces es finitamente definible [3] .

El sistema algebraico de identidad para una firma dada , es decir, un sistema soportado por un elemento , tal que y , es una cuasivariedad (y, además, una variedad). La cuasi-variedad más pequeña de una firma dada es una variedad, está dada por identidades y consta de un único sistema de identidad. La cuasi-variedad más grande de firma trasera es también una variedad, la clase de todos los sistemas de una firma dada, definida por la identidad . [cuatro] $\langle F, R \rangle$ $mi$ $\forall(f\in F)f(e, \dots e_i, \dots)=e$ $\forall(r\in R)(e, \dots e_i, \dots) \in r$ $\forall(x,y\en A)(x=y)$ $\forall(x_1, \puntos x_k \en A)(x_1, \puntos x_k)\en r$ $\forall(x)(x=x)$

Cualquier cuasi-variedad incluye un producto arbitrario filtrado de sus sistemas constituyentes [5] .

Para que una clase de sistemas sea una cuasi-variedad, es necesario y suficiente que sea simultáneamente localmente cerrado, multiplicativamente cerrado (contenga cualquier producto cartesiano de sus sistemas) y contenga un sistema de identidad. El cierre local y multiplicativo para esta característica puede ser reemplazado de manera equivalente por el cierre bajo productos filtrados y herencia .[ aclarar ] [6] .

Relaciones constitutivas

Composiciones libres

Redes de cuasivariedades

Historia

Se considera que el primer resultado de la aplicación de las cuasiidentidades en el álgebra general es el resultado de Anatoly Maltsev en 1939 [7] , en el que se construyó una serie infinita de cuasiidentidades, que caracteriza la clase de semigrupos integrables en grupos . En un artículo de 1943 de Chen McKinsey [8] conectó algunos problemas algorítmicos de álgebra con cuasi-identidades, y uno de los resultados de la solución de Robert Dilworth en 1945 [9] del problema de la existencia de redes no distributivas con un solo complemento fue la prueba de que las cuasivariedades tienen sistemas libres.

El teorema de Novikov (1955) sobre la indecidibilidad del problema de la igualdad de palabras en grupos en realidad significa la indecidibilidad de la teoría de grupos de Horn , es decir, también se puede atribuir a resultados relacionados con las cuasivariedades.

El surgimiento de la teoría de las cuasivariedades como una rama independiente del álgebra universal se refiere a los trabajos de Maltsev, Tabata y Fujiwara a fines de la década de 1950 y principios de la de 1960. El informe de Maltsev en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1966 en Moscú, en el que se formularon algunos problemas importantes relacionados con las cuasivariedades, contribuyó al crecimiento del interés de los matemáticos en esta rama [10] .

Un aumento particular de interés en la teoría de las cuasivariedades se manifestó en la década de 1970, cuando la lógica de Horn comenzó a ser ampliamente utilizada en la programación lógica (principalmente en trabajos relacionados con el lenguaje de programación Prolog ) y en la teoría de bases de datos .

Notas

↑ Gorbunov, 1999 , La diferencia fundamental es que las álgebras se estudian en la teoría de las variedades, mientras que los sistemas algebraicos arbitrarios se estudian en la teoría de las cuasi-variedades, p. viii.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 268.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 269-270.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 270.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 271.
↑ Maltsev, 1970 , Teorema 2, Corolario 3, p. 271-272.
↑ Maltsev A.I. Sobre la inclusión de sistemas asociativos en grupos // Colección matemática. - 1999. - T. 6 , N º 2 . - S. 331-336 .
↑ McKinsey J. El problema de decisión para algunas clases de oraciones sin cuantificadores // Journal of Symbolic Logic. - 1943. - T. 8 . - S. 61-76 .
↑ RP Dilworth. Lattices con complementos únicos // Transactions of American Mathematics Society. - 1945. - T. 56 . - S. 123-154 .
↑ Gorbunov, 1999 , pág. vii-viii.

Literatura

Gorbunov V. A. Teoría algebraica de cuasivariedades. - Novosibirsk : Libro científico, 1999. - 368 p. — (Escuela Siberiana de Álgebra y Lógica). - ISBN 5-88119-015-7 .
Aratmonov V. A.; Saliy VN; Skornyakov L. A.; Shevrin L. N.; Shulgeifer E. G. Álgebras universales // Álgebra general / bajo la dirección general de Skornyakov L. A. . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.500 copias. — ISBN 5-02-014427-4 .
Maltsev AI Sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 ejemplares.