Cuantificador

Un cuantificador es un nombre general para las operaciones lógicas que limitan el alcance de la verdad de un predicado y crean una declaración . Mencionado con más frecuencia:

Cuantificador universal (designación:, se lee: "para cualquier...", "para cada...", "para todos..." o "cada...", "cualquier...", "todos..." .") $\para todos$
Cuantificador de existencia (designación:, léase: “hay...” o “hay...”). $\existe$

En lógica matemática, la asignación de un cuantificador a una fórmula se denomina vinculación o cuantificación .

En la lógica polivalente , también se introducen otros cuantificadores, por ejemplo, el cuantificador de pluralidad (cuantificador de Rescher) (denotado por una M invertida , se lee "para la mayoría...").

Ejemplos

Denota el predicado " x es divisible por 9". Usando el cuantificador universal , uno puede escribir formalmente las siguientes declaraciones (por supuesto, falsas): $P(x)$

cualquier número natural es múltiplo de 9;
todo número natural es múltiplo de 9;
todos los números naturales son múltiplos de 9;

de la siguiente manera:

(\forall x\in {\mathbb {N}})P(x)

Las siguientes declaraciones (ya verdaderas) usan el cuantificador existencial :

hay números naturales que son múltiplos de 9;
hay un número natural que es múltiplo de 9;
al menos un número natural es múltiplo de 9.

Su notación formal es:

(\existe x\in {\mathbb {N}})P(x)

Introducción al concepto

Deje que el predicado : "Un número primo es impar" se dé en el conjunto de números primos. Sustituya la palabra "cualquiera" antes de este predicado. Obtenemos la declaración falsa "cualquier número primo es impar" (esta declaración es falsa, ya que 2 es un número primo par). $X$ $P(x)$ $X$ $X$

Sustituyendo la palabra "existe" antes de este predicado , obtenemos la afirmación verdadera "Hay un número primo que es impar" (por ejemplo, ). $P(x)$ $X$ $x=3$

Así, es posible convertir un predicado en un enunciado anteponiendo al predicado las palabras (“todo”, “existe”, y otras), que en lógica se denominan cuantificadores.

Cuantificadores en lógica matemática

La declaración significa que el rango de la variable está incluido en el rango de verdad del predicado . $\para todo xP(x)$ $X$ $P(x)$

("Para todos los valores , la afirmación es verdadera"). $X$

El enunciado significa que la región de verdad del predicado no está vacía. $\existe xP(x)$ $P(x)$

("Existe bajo el cual la declaración es verdadera"). $X$

Variables libres y enlazadas

El conjunto de variables libres* de la fórmula F se define recursivamente, como sigue:

Variables libres.

Todas las variables incluidas en una fórmula atómica son variables libres de esta fórmula,
las variables libres de la fórmula F son las variables libres de la fórmula ¬F,
las variables libres para al menos una de las fórmulas F o G son variables libres de la fórmula (F D G),
todas las variables libres de la fórmula F excepto v son variables libres de la fórmula Kv F.

fórmula cerrada.

Una fórmula sin variables libres se llama fórmula cerrada u oración.

Variable asociada.

La variable v está vinculada en una fórmula F si F contiene una ocurrencia de Kv, donde K es un cuantificador.

Cambio de nombre enlazado, cambio de nombre libre

Operaciones sobre cuantificadores

La regla de negación de cuantificadores se utiliza para construir negaciones de enunciados que contienen cuantificadores y tiene la forma:

$\lno (\para todo x)P(x)=(\existe x)\lno P(x)$
$\lno (\existe x)P(x)=(\para todo x)\lno P(x)$

Historial de apariciones

Los filósofos han prestado atención durante mucho tiempo a las operaciones lógicas que limitan el alcance de la verdad de un predicado, pero no las destacaron como una clase separada de operaciones. Entonces, Thomas Hobbes creía que son partes de nombres [1] .

Aunque las construcciones lógico-cuantificadores son ampliamente utilizadas tanto en el lenguaje científico como en el cotidiano, su formalización tuvo lugar recién en 1879 , en el libro de Frege "El Cálculo de Conceptos". La notación de Frege parecía construcciones gráficas engorrosas y no fue aceptada. Posteriormente, se propusieron muchos más símbolos exitosos, pero la notación para el cuantificador de existencia (primera letra invertida del inglés Exists - existe), propuesta por Charles Pierce en 1885 , y para el cuantificador general ( alemán: Alle $\existe$ $\para todos$ - "todo", "todos"), formado por Gerhard Gentzen en 1935 por analogía con el símbolo del cuantificador existencial. Los términos "cuantificador", "cuantificación" también fueron propuestos por Peirce.

Notas

↑ "Pero las palabras: any, any, some, etc., que indican el significado general o particular de otras palabras, no son nombres, sino solo partes de nombres". (Thomas Hobbes "Sobre el cuerpo")

Literatura

Kleene S. K. Introducción a las metamatemáticas, trad. de English, M., 1957, p. 72-80, 130-138
Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Lógica matemática. ed. 3º, estereotipado. — M.: KomKniga, 2006. — 240 p.
Novikov PS Elementos de lógica matemática. — M.: Nauka, 1973. — 400 p.
Church A. Introducción a la lógica matemática, trad. del inglés, volumen 1, M., 1960, p. 42-48.

Enlaces

cuantificadores

diccionarios y enciclopedias	Gran danés Gran catalán gran ruso Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	BNF : 11931538s TIERRA : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323