Anillo erman

El anillo de Erman es uno de los tipos de componente conectado fijo o periódico del dominio de Fatou en dinámica holomorfa . Tal componente conectado es topológicamente equivalente a un anillo, y la dinámica del mapeo (o su primera iteración de retorno, en el caso de un componente periódico) debe conjugarse a una rotación irracional de este anillo.

Construcción

Una de las formas de construir un mapeo, uno de los componentes del conjunto de Fatou, del cual resulta ser un anillo de Hermann, se basa en la consideración de los productos de Blaschke . Es decir, los productos de Blaschke son mapas de la forma

f(z)=\lambda \prod_{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}}, \quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,

conservar el círculo unitario , y conservar la orientación sobre él si y sólo si hay un número par de puntos fuera del disco unitario . ${\ estilo de visualización \ {| z | = 1 \))$ $a_{j}$

Eligiendo puntos , se puede asegurar que la restricción de la aplicación f a este círculo es un difeomorfismo con un número de rotación diofántico . El teorema de Herman-Yokkoz establece en este caso que f es analíticamente conjugada a la rotación correspondiente. Esta conjugación local se extiende aún más hasta el límite de la componente de Fatou que contiene el círculo unitario, que resulta ser un anillo de Herman. $a_{j}$

Un ejemplo de la implementación de tal construcción es un mapeo racional de grado 3,

f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z)),

donde la constante se elige de modo que el número de rotación de la restricción f en el círculo unitario sea . $t=0.6151732\puntos$ ${\ estilo de visualización ({\ sqrt {5}} -1)/2}$

Literatura

Milnor, J. Dinámica holomorfa. Conferencias introductorias. = Dinámica en Una Variable Compleja. Conferencias introductorias. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", 2000. - S. 189-194. — 320 s. - ISBN 5-93972-006-4 .