Plano proyectivo complejo

El plano proyectivo complejo es un espacio proyectivo complejo bidimensional ; es una variedad compleja bidimensional , su dimensión real es 4.

Usualmente denotado . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$

Edificio

Puntos en el plano proyectivo complejo y se describen mediante coordenadas complejas homogéneas

(z_{1},z_{2},z_{3})\en \mathbb {C} ^{3},\qquad (z_{1},z_{2},z_{3})\ neq(0,0,0).

En este caso, los triples que difieren en un escalar se consideran idénticos:

(z_{1},z_{2},z_{3})\equiv (\lambda z_{1},\lambda z_{2},\lambda z_{3});\quad \lambda \in \mathbb {C} ,\qquad \lambda \neq 0.

Topología

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ es homeomorfo al cociente de las 5 esferas por la acción de Hopf . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{5}\subconjunto \mathbb {C} ^{3))$ ${\mathbb S}^{1}$

Números de Betty : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

$\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}$ es simplemente conexo , su grupo fundamental es trivial.
Los grupos de homotopía no triviales del plano proyectivo complejo son $\pi _{2}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\pi_{5}\mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {Z}$ .

en dimensiones superiores, los grupos de homotopía son los mismos que los de la 5-esfera.

Geometría algebraica

En geometría birracional, una superficie racional compleja es cualquier superficie algebraica que es biracionalmente equivalente al plano proyectivo complejo. Se sabe que cualquier variedad racional no singular se obtiene del plano como resultado de una secuencia de transformaciones de explosión y sus curvas inversas ("contracciones"), que deben tener una forma muy específica. Como caso especial , las superficies complejas no singulares de segundo orden en P 3 se obtienen a partir del plano ampliando dos puntos a curvas y luego contrayendo una línea recta a través de estos dos puntos. Las transformaciones inversas se pueden ver si tomamos un punto P en una superficie Q de segundo orden, lo inflamos y lo proyectamos sobre un plano ordinario en P 3 dibujando líneas rectas a través de P .

El grupo de automorfismos birracionales del plano proyectivo complejo es el grupo de Cremona .

Geometría diferencial

El plano proyectivo complejo es una variedad de 4 dimensiones. Tiene una métrica natural, la llamada métrica de Fubini -Study, con curvatura seccional de 1/4 pines ; es decir, su curvatura seccional máxima es 4 y su mínima es 1. Esta métrica se inicia en el factor por la acción de Hopf en . ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}=\mathbb {S} ^{5}/\mathbb {S} ^{1))$ ${\mathbb S}^{1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {S} ^ {5}}$

Véase también

Notas

Literatura

PD Alexandrov. Curso de Geometría Analítica desde Álgebra Lineal. - M. : "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, 1979. - P. 598.
CE Springer. Geometría y Análisis de Espacios Proyectivos. - W. H. Freeman and Company , 1964. - S. 140-3.
M. Gromov. Signo y significado geométrico de la curvatura. - Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 1999. - ISBN 5-93972-020-X .
Weisstein, Eric W. Complex Projective Plane (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .