Grupo cremona

El grupo de Cremona es el grupo de automorfismos birracionales del espacio proyectivo adimensional sobre el campo . El grupo fue introducido en consideración en 1863-1865 por Luigi Cremona [1] [2] . El grupo se denota como , o . $norte$ $k$ $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ $Cr_{n}(k)$

El grupo de Cremona se identifica naturalmente con el grupo de automorfismos del campo de funciones racionales de incógnitas sobre , o la extensión trascendental del campo con grado de trascendencia . $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ $norte$ $k$ $k$ $norte$

El grupo proyectivo lineal completo del orden de las transformaciones proyectivas está contenido en el grupo Cremona del orden . Coinciden sólo en los casos en que o , en los que el numerador y el denominador de la transformación son lineales. $n+1$ $norte$ $n=0$ $n=1$

El grupo de Cremona en espacios de dimensión 2

En espacios de dimensión dos, Gizatullin [3] dio una descripción completa de las relaciones para el sistema de generadores de grupos. La estructura de este grupo no queda del todo clara, aunque existe un gran número de trabajos sobre la búsqueda de sus elementos o subgrupos.

Serge Kanta y Stephane Lamy [4] demostraron que el grupo de Cremona no es simple como un grupo abstracto .
Jeremy Blank demostró que el grupo no tiene subgrupos normales no triviales y está cerrado en la topología natural.
Dolgacheva e Iskovskikh escribieron un artículo sobre subgrupos finitos del grupo de Cremona [5] .

El grupo de Cremona en espacios de dimensión 3 o más

Poco se sabe sobre la estructura del grupo de Cremona en espacios de dimensión 3 y superiores, aunque se han descrito muchos elementos de este grupo. Blank [6] mostró que está (camino) conectado respondiendo a la pregunta de Serra [7] . No existe un análogo simple del teorema de Noether-Castelnuovo, ya que Hudson [8] demostró que el grupo de Cremona en dimensión al menos 3 no es generado por sus elementos de grado acotados por ningún número fijo.

Los grupos de De Jonquière

El grupo de Jonquière [9] es un subgrupo del grupo de Cremona de la siguiente forma. Elegimos una base de trascendencia para la extensión del campo . Entonces, el grupo de de Jonquière es el subgrupo de automorfismos que mapean el subcampo en sí mismo para algunos . Tiene un subgrupo normal dado por el grupo Cremona de automorfismos sobre el cuerpo , y el grupo cociente es el grupo Cremona sobre el cuerpo . Puede considerarse el grupo de automorfismos birracionales de la gavilla fibrosa . $x_1, ..., x_n$ $k$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $r\leqslantn$ $k(x_{1},...,x_{n})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k(x_{1},...,x_{r})$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{nr}\to \mathbb {P} ^{r))$

Si y , el grupo de de Jonquière es el grupo de transformaciones de Cremona que conserva el lápiz de líneas por el punto dado, y es un producto semidirecto de y . ${\ estilo de visualización n = 2}$ ${\ estilo de visualización r = 1}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PGL} _ {2} (k)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {PGL} _ {2} (k (t))}$

Notas

↑ Cremona, 1863 , pág. 305–311.
↑ Cremona, 1865 , pág. 269-280, 363-376.
↑ Gizatullin, 1982 .
↑ Cantat, Lamy, 2010 .
↑ Dolgachev, Iskovskikh, 2009 .
↑ Blanco, 2010 .
↑ Serre, 2010 .
↑ Hudson, 1927 .
↑ Hay diferentes grafías del apellido. Entonces, I. R. Shafarevich lo escribe con un guión: de Jonquiere. Shafarevich da la siguiente definición del grupo de de Jonquière: Transformación de Jonquière: , donde y es un polinomio arbitrario en variables . $(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})\a (y_{1},y_{2},\puntos,y_{n})$ $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots,x_{n}),a_{i}\neq 0$ $f_{i}$ ${\displaystyle x_{i+1},\puntos,x_{n))$

Literatura

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