Constante de Erdős-Borwein

La constante de Erdős-Borwein es una constante matemática igual a la suma de los recíprocos de los números de Mersenne . Lleva el nombre de Pal Erdős y Peter Borwein , quienes establecieron sus propiedades clave .

Por definición, la constante es:

E=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{n}-1))

que es aproximadamente 1.606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 418 420 743 486 690 565 711 801

Formas equivalentes

Se puede demostrar que las siguientes sumas dan la misma constante:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2)))){\frac {2^{n}+1}{2 ^{n}-1}}

{\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty}\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{2^{mn))))

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)))

{\displaystyle E=\sum_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma_{0}(n)}{2^{n))))

donde es la función multiplicativa de divisores igual al número de divisores positivos del número . Para probar la equivalencia de estas fórmulas se utiliza el hecho de que todas representan la serie de Lambert [2] . ${\ estilo de visualización \ sigma _ {0} (n) = d (n)}$ $norte$

Irracionalidad

Erdős en 1948 demostró que la constante es un número irracional [3] . Borwein más tarde presentó una prueba alternativa [4] .

Aunque irracional, la representación binaria de una constante se calcula de manera eficiente: Knuth señaló en la edición de 1998 de El arte de la programación que el cálculo se puede realizar utilizando la serie de Clausen, que converge muy rápidamente [5] .

Aplicaciones

La constante de Erdős-Borwein surge al analizar el comportamiento del algoritmo heapsort [6]

Enlaces

↑ Secuencia OEIS A065442 _
↑ La primera de estas fórmulas fue introducida por Knuth en 1998; Knuth se refiere a una obra de 1828 de Thomas Clausen
↑ Erdős, Pal (1948), Sobre las propiedades aritméticas de la serie de Lambert , J. Indian Math. soc. (NS) Vol . 12: 63–66 , < http://www.renyi.hu/~p_erdos/1948-04.pdf > Archivado desde el original el 14 de julio de 2016.
↑ Borwein, Peter B. (1992), Sobre la irracionalidad de ciertas series , Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge Vol . 112 (1): 141–146 , DOI 10.1017/S030500410007081X
↑ Crandall, Richard (2012), El googol-ésimo bit de la constante de Erdős-Borwein , Integers T. 12: A23 , DOI 10.1515/integers-2012-0007
↑ Knuth, Donald (1998), El arte de la programación informática , vol. 3: Clasificación y búsqueda (2.ª ed.), Reading, MA: Addison-Wesley, pág. 153-155 .

Literatura

Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Numeros irracionales
Constante de Apéry ( ζ(3) ) Constante de Erdős-Borwein ( E ) constantes de Feigenbaum Sueño sofomoriano Número primo constante (ρ) Número plástico (ρ) Logaritmo de dos (ln 2) raíz 12 de 2 ( 12 √ 2 ) Raíz cuadrada de 2 ( √ 2 ) Raíz cuadrada de 3 ( √ 3 ) Raíz cuadrada de 5 ( √5 ) Proporción áurea (φ) Súper proporción áurea (ψ) Sección de plata ( δS ) mi π Constante de Gelfond ( e π ) Constante de Gelfond-Schneider ( 2 √ 2 ) Constante inversa de Fibonacci (ψ)
trascendental Trigonométrico