Proyecto de construccion

Proj es una construcción similar a la construcción de esquemas afines como espectros de anillos , con la ayuda de los cuales se construyen esquemas que tienen las propiedades de espacios proyectivos y variedades proyectivas .

En este artículo, se supone que todos los anillos son anillos conmutativos con identidad.

Proyecto de un anillo graduado

Proyecto como conjunto

Sea un anillo graduado , donde $S$

{\ Displaystyle S = \ bigoplus _ {i \ geq 0} S_ {i}}

es la descomposición de la suma directa asociada con la calificación.

Denotar por ideal Definimos el conjunto Proj S como el conjunto de todos los ideales simples homogéneos , que no contienen $S_+$ ${\ estilo de visualización \ bigoplus _ {i> 0} S_ {i}.}$ ${\ estilo de visualización S_ {+}.}$

En lo que sigue, por brevedad , algunas veces denotaremos a Proj S como X.

Proj como espacio topológico

Podemos definir una topología, llamada topología de Zariski , en Proj S definiendo conjuntos cerrados como conjuntos de la forma

V(a)=\{p\in \operatorname {Proy} \,S\mid a\subseteq p\},

donde a es un ideal homogéneo de S . Como en el caso de esquemas afines, es fácil verificar que V ( a ) son conjuntos cerrados de alguna topología sobre X.

En efecto, si es una familia de ideales, entonces y si el conjunto I es finito, entonces . ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I))$ $\bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})$ $\bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})$

De manera equivalente, uno puede comenzar con conjuntos abiertos y definir

D(a)=\{p\in \operatorname {Proy} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.

La forma abreviada estándar es denotar D ( Sf ) como D ( f ), donde Sf es el ideal generado por f . Para cualquier a , D ( a ) y V ( a ) son obviamente complementarios, y la prueba anterior muestra que D ( a ) forma una topología en Proj S. La ventaja de este enfoque es que D ( f ), donde f pasa por todos los elementos homogéneos de S , forma la base de esta topología, que es una herramienta necesaria para estudiar Proj S , de manera similar al caso de los espectros de anillos.

Proyecto como esquema

También construimos un haz en Proj S , llamado haz estructural, que lo convierte en un circuito. Como en el caso de la construcción Spec, hay varias formas de hacerlo: la más directa, que también se parece a la construcción de funciones regulares en una variedad proyectiva en la geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier conjunto abierto U en Proj S , definimos un anillo como el conjunto de todas las funciones ${\ estilo de visualización O_ {X} (U)}$

{\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)))

(donde denota un subanillo del anillo local del punto , que consta de elementos homogéneos parciales del mismo grado) tal que para todo ideal primo p en U : ${\ estilo de visualización S_ {(p)}}$ $S_p$ $pags$

f(p) es un elemento de ; ${\ estilo de visualización S_ {(p)}}$
existe un subconjunto abierto V del conjunto U que contiene p , y elementos homogéneos s , t del anillo S del mismo grado, tal que para todo ideal primo q en V :
- t no está en q ;
- f(q) = s/t .

Inmediatamente se sigue de la definición que forman un haz de anillos en Proj S , y se puede demostrar que el par (Proj S , ) es un esquema (además, cada subconjunto de D(f) es un esquema afín). ${\ estilo de visualización O_ {X} (U)}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$

Gavilla asociada a un módulo graduado

Una propiedad esencial de S en la construcción anterior era la posibilidad de construir localizaciones para cada ideal primo p en S . Esta propiedad también la posee cualquier módulo graduado M sobre S y, por lo tanto, la construcción de la sección anterior, con ligeros cambios, nos permite construir para tal M un haz de -módulos en Proj S , denotados por . Por construcción, esta viga es cuasi-coherente . Si S es generado por un número finito de elementos de grado 1 (es decir, es un anillo polinomial o su factor), todas las poleas cuasi-coherentes en Proj S se obtienen a partir de módulos graduados usando esta construcción. [1] El módulo calificado correspondiente no es único. ${\ estilo de visualización S_ {(p)}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\tilde {M}}$

Viga torcida de Serra

Un caso especial de una gavilla asociada a un módulo graduado es cuando tomamos S como M con una graduación diferente: es decir, consideramos elementos de grado ( d + 1) del módulo M como elementos de grado ( d + 1) del anillo S y denotemos M = S (1). Obtenemos una gavilla cuasi-coherente en Proj S , denotada o simplemente O (1) y llamada la gavilla torcida de Serre . Se puede comprobar que O (1) es un haz reversible . ${\tilde {M}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X} (1)}$

Una razón por la que O (1) es útil es que le permite recuperar información algebraica sobre S que se perdió en la construcción cuando se pasó a cocientes de potencia 0. En el caso de Spec A para un anillo A , las secciones globales de la estructura gavilla son A en sí , entonces, como en nuestro caso, las secciones globales de la gavilla consisten en elementos S de grado 0. Si definimos ${\ estilo de visualización O_ {X}}$ ${\ estilo de visualización O_ {X}}$

O(n)=\bigotimes_{i=1}^{n}O(1)

entonces cada O ( n ) contiene información de grado- n sobre S. De manera similar, para una gavilla de -módulos N asociados con un S -módulo M , podemos definir ${\ estilo de visualización O_ {X}}$

N(n)=N\oveces O(n)

y espere que esta gavilla torcida contenga la información perdida sobre M . Esto sugiere, aunque incorrectamente, que S puede reconstruirse a partir de estas gavillas; esto es realmente cierto si S es un anillo polinomial, ver más abajo.

espacio proyectivo n -dimensional

Si A es un anillo, definimos un espacio proyectivo de n dimensiones sobre A como un esquema

\mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proy} \,A[x_{0},\ldots,x_{n}].

Definimos una graduación en el anillo asumiendo que cada uno tiene grado 1 y cada elemento de A tiene grado 0. Comparando esto con la definición de O (1) dada arriba, vemos que las secciones de O (1) son polinomios lineales homogéneos generados por los elementos $S=A[x_{0},\ldots,x_{n}]$ $x_i$ $x_{yo}$

Ejemplos

Si tomamos como base el anillo , entonces tiene un morfismo proyectivo canónico sobre la línea afín , cuyas fibras son curvas elípticas , excepto las capas sobre puntos , sobre las cuales las capas degeneran en curvas nodales. $A=\mathbb {C} [\lambda]$ ${\text{Proy))(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z)))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {A} _ {\ lambda} ^ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda = 0,1}$
Una hipersuperficie proyectiva es un ejemplo de una quíntica de Fermat 3D, que también es una variedad de Calabi-Yau . ${\text{Proy}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^ {5})\derecho)$
Si consideramos una calificación trivial en , es decir , para , entonces . $A$ $A_{0}=A$ ${\ estilo de visualización A_ {i} = 0}$ ${\ estilo de visualización i \ neq 0}$ ${\text{Proy}}(A)={\text{Especificación}}(A)$
Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando anillos polinómicos con grados de variables no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderadocorresponde a tomar elanillodondetiene grado, mientrastiene grado 2. ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} (1,1,2)}$ ${\text{proyecto))$ $A[X_{0},X_{1},X_{2}]$ ${\ estilo de visualización X_ {0}, X_ {1}}$ $una$ $X_{2}$
Un anillo bigraduado corresponde a un subesquema de un producto de espacios proyectivos. Por ejemplo, un álgebra bigraduada donde tener grado y tener grado corresponde a . ${\displaystyle\mathbb{C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]}$ $X_{yo}$ $(1.0)$ $Y_{yo}$ $(0.1)$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1))$

Notas

↑ Ravi Vakil. Fundamentos de Geometría Algebraica . — 2015. , Corolario 15.4.3.

Literatura

Hartshorne R. Geometría algebraica / transl. De inglés. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.
Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean . "Elements de geometrie algebrique: II. Étude globale élémentaire de quelques clases de morfismos" . Publicaciones Mathématiques de l'IHES. 8, 1961.