Coeficientes de fórmulas de diferenciación numérica

En matemáticas, para un cálculo aproximado de las derivadas de una función tabular dada , se puede buscar una expresión de los valores de las derivadas a través de los valores conocidos de la función utilizando un conjunto adecuado de coeficientes . Para ello, puedes utilizar diversas fórmulas de interpolación o el método de los coeficientes indefinidos .

Nudos equidistantes

Sea un punto en el que sea necesario calcular las derivadas de una función suficientemente suave , sea una cuadrícula de nodos equidistantes con un escalón y se conozcan los valores de la función en estos nodos. En este caso, es posible expresar fórmulas de diferenciación numérica directamente en términos de valores de funciones utilizando la fórmula de interpolación de Lagrange . Tales fórmulas también se denominan fórmulas de no diferencia, ya que no requieren el cálculo de diferencias finitas o divididas [1] . $x_{0}$ $F$ $x_{k}=x_{0}+kh$ $h$ $F$ $F$

Dependiendo de la ubicación del punto en la cuadrícula de nodos (izquierda, derecha o centro), los coeficientes calculados "hacia adelante", "hacia atrás" y los coeficientes simétricos se distinguen respectivamente. $x_{0}$

Coeficientes simétricos

Para obtener coeficientes simétricos, el número de nodos en la cuadrícula debe ser impar. Entonces el orden del error de aproximación será un número par.

orden derivado	orden de error	−5	−4	−3	−2	−1	0	una	2	3	cuatro	5
una	2					−1/2	0	1/2
	cuatro				1/12	−2/3	0	2/3	−1/12
	6			−1/60	3/20	−3/4	0	3/4	−3/20	1/60
	ocho		1/280	−4/105	1/5	−4/5	0	4/5	−1/5	4/105	−1/280
2	2					una	−2	una
	cuatro				−1/12	4/3	−5/2	4/3	−1/12
	6			1/90	−3/20	3/2	−49/18	3/2	−3/20	1/90
	ocho		−1/560	8/315	−1/5	8/5	−205/72	8/5	−1/5	8/315	−1/560
3	2				−1/2	una	0	−1	1/2
	cuatro			1/8	−1	13/8	0	−13/8	una	−1/8
	6		−7/240	3/10	−169/120	61/30	0	−61/30	169/120	−3/10	7/240
cuatro	2				una	−4	6	−4	una
	cuatro			−1/6	2	−13/2	28/3	−13/2	2	−1/6
	6		7/240	−2/5	169/60	−122/15	91/8	−122/15	169/60	−2/5	7/240
5	2			−1/2	2	−5/2	0	5/2	−2	1/2
	cuatro		1/6	−3/2	13/3	−29/6	0	29/6	−13/3	3/2	−1/6
	6	−13/288	19/36	−87/32	13/2	−323/48	0	323/48	−13/2	87/32	−19/36	13/288
6	2			una	−6	quince	−20	quince	−6	una
	cuatro		−1/4	3	−13	29	−75/2	29	−13	3	−1/4
	6	13/240	−19/24	87/16	−39/2	323/8	−1023/20	323/8	−39/2	87/16	−19/24	13/240

Por ejemplo, la tercera derivada con un error de segundo orden se calcula como

f'''(x_{0})={\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_ {+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h^{3}}}+O\izquierda(h^{2}\derecha)~.

Probabilidades por delante

orden derivado	orden de error	0	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho
una	una	−1	una
	2	−3/2	2	−1/2
	3	−11/6	3	−3/2	1/3
	cuatro	−25/12	cuatro	−3	4/3	−1/4
	5	−137/60	5	−5	10/3	−5/4	1/5
	6	−49/20	6	−15/2	20/3	−15/4	6/5	−1/6
2	una	una	−2	una
	2	2	−5	cuatro	−1
	3	35/12	−26/3	19/2	−14/3	11/12
	cuatro	15/4	−77/6	107/6	−13	61/12	−5/6
	5	203/45	−87/5	117/4	−254/9	33/2	−27/5	137/180
	6	469/90	−223/10	879/20	−949/18	41	−201/10	1019/180	−7/10
3	una	−1	3	−3	una
	2	−5/2	9	−12	7	−3/2
	3	−17/4	71/4	−59/2	49/2	−41/4	7/4
	cuatro	−49/8	29	−461/8	62	−307/8	13	−15/8
	5	−967/120	638/15	−3929/40	389/3	−2545/24	268/5	−1849/120	29/15
	6	−801/80	349/6	−18353/120	2391/10	−1457/6	4891/30	−561/8	527/30	−469/240
cuatro	una	una	−4	6	−4	una
	2	3	−14	26	−24	once	−2
	3	35/6	−31	137/2	−242/3	107/2	−19	17/6
	cuatro	28/3	−111/2	142	−1219/6	176	−185/2	82/3	−7/2
	5	1069/80	−1316/15	15289/60	−2144/5	10993/24	−4772/15	2803/20	−536/15	967/240

Por ejemplo, la primera derivada con un error de tercer orden y la segunda derivada con un error de segundo orden se calculan como

f'(x_{0})={\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3} {2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h}}+O\izquierda(h^{3}\derecha)~ ,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3} )}{h^{2}}}+O\izquierda(h^{2}\derecha)~.

Es fácil ver que los coeficientes para el error de primer orden son coeficientes binomiales con signos cambiantes, lo que corresponde a la fórmula general para diferencias finitas ascendentes.

Probabilidades de regreso

Para recuperar los coeficientes, es necesario invertir los signos de los coeficientes hacia adelante para derivadas de órdenes impares y reflejar la tabla de coeficientes de derecha a izquierda:

orden derivado	orden de error	−5	−4	−3	−2	−1	0
una	una					−1	una
	2				1/2	−2	3/2
	3			−1/3	3/2	−3	11/6
2	una				una	−2	una
2	2			−1	cuatro	−5	2
3	una			−1	3	−3	una
3	2		3/2	−7	12	−9	5/2
cuatro	una		una	−4	6	−4	una
cuatro	2	−2	once	−24	26	−14	3

Por ejemplo, la primera derivada con un error de tercer orden y la segunda derivada con un error de segundo orden se calculan como

f'(x_{0})={\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{ 2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h}}+O\izquierda(h^{3}\derecha)~,

f''(x_{0})={\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3} )}{h^{2}}}+O\izquierda(h^{2}\derecha)~.

Una cuadrícula arbitraria de nodos

Para obtener coeficientes para nodos ubicados arbitrariamente, es conveniente utilizar el método de coeficientes indefinidos [2] . Para ello, el valor de la derivada buscada de la orden en el punto se escribe como ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{N))$ $k$ $x_{j}$

f^{(k)}(x_{j})=\sum \limits _{i=0}^{N}c_{i}f(x_{i})+R(f)~,

dónde

c_{yo}

- coeficientes desconocidos,

R

es el resto de la interpolación.

Los coeficientes se seleccionan a partir de la condición que deben cumplir las funciones , , ,..., . Resulta el siguiente sistema de ecuaciones lineales : $c_{yo}$ ${\ estilo de visualización R (f) = 0}$ $una$ $X$ $x^{2}$ $x ^ N$

\left({\begin{array}{cccc}1&1&\ldots &1\\x_{0}&x_{1}&\ldots &x_{N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \ \x_{0}^{k-1}&x_{1}^{k-1}&\ldots &x_{N}^{k-1}\\x_{0}^{k}&x_{1}^{ k}&\ldots &x_{N}^{k}\\x_{0}^{k+1}&x_{1}^{k+1}&\ldots &x_{N}^{k+1}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{0}^{N}&x_{1}^{N}&\ldots &x_{N}^{N}\\\end{matriz}}\right )\left({\begin{matriz}{c}c_{0}\\c_{1}\\\vdots \\c_{k-1}\\c_{k}\\c_{k+1}\ \\vdots \\c_{N}\end{matriz}}\right)=\left({\begin{matriz}{c}0\\0\\\vdots \\0\\k!\\(k +1)!x_{j}\\\vdots \\N(N-1)\ldots (N-k+1)x_{j}^{Nk}\end{matriz}}\right)~.

En este caso, el error de cálculo será del orden de . $Nk+1$

La matriz del sistema es la matriz de Vandermonde , que también surge al resolver el problema general de interpolación por polinomios .

Notas

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 230.
↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , pág. 234.

Literatura

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Métodos computacionales. - 2ª ed. -M.:Fizmatlit, 1962. - T. I. (Ruso)
Fornberg, B. Generación de fórmulas de diferencias finitas en cuadrículas espaciadas arbitrariamente // Matemáticas de computación. - 1988. -vol. 51. -699-706. -doi:10.1090/S0025-5718-1988-0935077-0.

Enlaces

Calculadora de coeficientes para cuadrículas arbitrarias de nodos (numéricamente)

Véase también

Método de diferencias finitas