Torsión de conectividad

La torsión de una conexión afín es una de las características geométricas de las conexiones en geometría diferencial. A diferencia de la noción de curvatura , que tiene sentido para una conexión en un paquete vectorial arbitrario o incluso una conexión de Ehresmann en un paquete localmente trivial, la torsión solo se puede definir para conexiones en un paquete tangente (o, más generalmente, en paquetes equipados con un mapeo a una tangente, digamos, subpaquete de contacto ).

Si es una conexión en el paquete tangente, su tensor de torsión se define como . $\nabla \colon \Gamma (TX\otimes TX)\to \Gamma (TX)$ $\mathrm {Tors} ^{\nabla }(u,v)=\nabla_{u}v-\nabla_{v}u-[u,v]$

Se comprueba por cálculo directo que el operador dado es lineal respecto a la multiplicación por funciones, y, por tanto, define realmente un tensor de la forma . En otras palabras, a un par de vectores tangentes en un punto dado, la torsión asocia un vector tangente de manera simétrica oblicua. ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {2} TX \ a TX}$

Un ejemplo de mecánica clásica y explicación del nombre

Sea X un espacio euclidiano tridimensional en el que se da un determinado sistema de coordenadas. Define una conexión plana sin torsión: en cada punto podemos especificar un vector unitario tangente dirigido a lo largo del eje (resp. , ), y estos campos vectoriales conmutan (es decir, definen un sistema de coordenadas). $Buey$ $Oye$ ${\ estilo de visualización Oz}$

Ahora deja que este sistema de coordenadas cambie con el tiempo (es decir, establece, como dicen los físicos, un sistema de referencia ). Esto permite que la conexión plana se extienda al espacio-tiempo de manera que el campo vectorial sea paralelo a la conexión. Las derivadas covariantes indicarán cómo gira el vector de coordenadas en el espacio a lo largo del tiempo . La torsión de esta conexión es, en términos generales, distinta de cero. En la restricción sobre cada momento del tiempo, es decir, sobre una subvariedad , la conexión, por construcción, es una conexión estándar plana sobre el espacio euclidiano, y no tiene torsión, pero el resultado de la sustitución es, en términos generales, una conexión no -tensor trivial . Este tensor se llama torque . Así, la torsión de conexión generaliza el concepto de torque al caso en que sólo queda espacio-tiempo curvo del espacio absoluto con sus coordenadas planas, y las conexiones libres de torsión son los conceptos de marcos de referencia inerciales . $X\veces Desde$ ${\ estilo de visualización \ parcial / \ t parcial}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {\ parcial / \ parcial t} v}$ $v$ $X$ $t=\mathrm {const}$ ${\displaystyle \iota _{\parcial /\parcial t}\mathrm {Tors} ^{\nabla ))$ ${\ estilo de visualización TX \ a TX}$

Torsión interna

Dada una estructura geométrica en una variedad (por ejemplo, un conjunto de tensores), uno podría preguntarse cuándo existe una conexión libre de torsión que conserva esa estructura. El teorema fundamental de la geometría de Riemann establece que para una métrica de Riemann, existe una conexión libre de torsión que la preserva y es única. Para otras estructuras, esto generalmente no es cierto.

Ejemplo. Sea una variedad y sea un subhaz. Si en hay una conexión con torsión cero tal que (es decir, los campos vectoriales de permanecen en , bajo traslación paralela ), entonces (y, por lo tanto, por el teorema de Frobenius , existe una familia de subvariedades tal que para todo ). $X$ ${\ estilo de visualización F \ subconjunto TX}$ ${\ estilo de visualización TX}$ $\nabla$ ${\ estilo de visualización \ nabla F = 0}$ $F$ $F$ ${\ estilo de visualización [F, F] \ subconjunto F}$ $Y_{x}\subconjunto X$ $T_{x}(Y_{x})=F_{x}\subconjunto T_{x}X$ $x\en X$

Prueba. Si se conserva , entonces para dos campos vectoriales tenemos . Si la torsión desaparece, entonces , de donde, debido a la arbitrariedad de la elección , tenemos . □ $\nabla$ $F$ ${\ estilo de visualización u, v \ en \ Gamma (F)}$ ${\ Displaystyle \ nabla _ {x} y \ en \ Gamma (F), \ nabla _ {y} x \ en \ Gamma (F)}$ $\nabla$ ${\ estilo de visualización [u, v] = \ nabla _ {u} v-\ nabla _ {v} u \ en \ Gamma (F)}$ $tú, v$ ${\ estilo de visualización [F, F] \ subconjunto F}$

Ejemplo. Sea una variedad y sea una forma diferencial sobre ella. Si existe una conexión con torsión nula en tal que , entonces se cierra esta forma: . $X$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ Omega ^ {p} (X)}$ $pags$ ${\ estilo de visualización TX}$ $\nabla$ ${\ estilo de visualización \ nabla \ alfa = 0}$ ${\ estilo de visualización d \ alfa = 0}$

Prueba. Sustituyendo la expresión (ecuación escrita explícitamente ) en la fórmula del diferencial de De Rham, tenemos . □ $\nabla _{v}(\alpha (u_{1},\dots ,u_{p))=\sum _{i=1}^{p}\alpha (u_{1},\dots , u_{i-1},\nabla_{v}u_{i},u_{i+1},\puntos,u_{p})$ ${\ estilo de visualización \ nabla \ alfa = 0}$ ${\ estilo de visualización d \ alfa = 0}$

Digamos, para 2-formas diferenciales no degeneradas, la existencia de una conexión libre de torsión con respecto a la cual son paralelas es equivalente a la simplecticidad de esta forma. En otras palabras, a diferencia de la conexión Levi-Civita, las conexiones simplécticas no existen para cada forma de 2, sino solo para las formas simplécticas, y si existen, entonces no son únicas. De manera similar, en variedades casi complejas , la existencia de una conexión libre de torsión que conserva el tensor de la estructura casi compleja es equivalente a que la variedad admita aplicaciones analíticas complejas .

Esto tiene el siguiente trasfondo algebraico. Sea un álgebra de Lie actuando en un espacio vectorial , es decir, una aplicación . Considere el mapeo , la simetrización sesgada en las últimas variables, y denote el kernel y el cokernel de esta flecha con y . Ahora sea una variedad cuya fibra tangente esté dotada de la acción de un grupo de Lie cuyo álgebra sea . La secuencia exacta luego se convierte en una secuencia exacta de paquetes de vectores: . Si son dos conexiones que conservan la estructura, entonces su diferencia es un elemento en . El tercer término de esta secuencia contiene la torsión de todas las conexiones posibles; las diferencias de torsión -conexiones constituyen sus elementos provenientes del término anterior, y por lo tanto precisamente los que quedan anulados por el mapeo al cokernel. La sección correspondiente del paquete construido a partir de la estructura es independiente de la elección de la conexión y se denomina torsión intrínseca de la estructura. Varias secciones , a su vez, corresponden a la ambigüedad de la elección de -conectividad con una torsión dada. $\mathfrak{g}$ $V$ ${\mathfrak {g}}\to V\otimes V^{*}$ ${\mathfrak {g}}\otimes V^{*}\to V\otimes V^{*}\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ $k$ $C$ $X$ $GRAMO$ $\mathfrak{g}$ $0\to K\to {\mathfrak {g}}\otimes T^{*}\to T\otimes \Lambda ^{2}T^{*}\to C\to 0$ ${\ estilo de visualización \ nabla, \ nabla '}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ nabla - \ nabla '}$ $\Omega ^{1}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes T^{*}$ $GRAMO$ $C$ $GRAMO$ $GRAMO$ $GRAMO$ $k$ $GRAMO$

Para y su representación tautológica , por ejemplo, el mapeo es un isomorfismo, y por lo tanto . Este es el teorema fundamental de la geometría de Riemann: existe una conexión ortogonal libre de torsión y es única. Porque un cokernel es isomorfo a un paquete de 3 formas , y la torsión interna de la conexión es un diferencial . Para una estructura casi compleja, la torsión interna es su tensor de Nijenhuis , para una distribución , su tensor de Frobenius . ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {entonces}}(n)$ $V=\mathbb {R} ^{n}$ ${\mathfrak {so}}(n)\otimes V^{*}\to V\otimes \Lambda ^{2}V^{*}$ ${\ estilo de visualización K = C = 0}$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sp}}(2n)$ ${\displaystyle\Lambda^{3}V^{*}}$ $\omega$ $d\omega \in \Omega ^{3}(X)$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {2} T ^ {1,0} \ a T ^ {0,1}}$ ${\ estilo de visualización F \ subconjunto TX}$ $\Lambda ^{2}F\a TX/F$

El paralelismo de una forma casi simpléctica (o un operador de estructura casi compleja) sobre una variedad casi hermitiana con respecto a la conexión Levi-Civita significa que es kähleriana . En geometría no Kähleriana, es útil considerar conexiones con torsión distinta de cero. Por lo tanto, en cualquier variedad hermitiana compleja, hay una conexión única con respecto a la cual la métrica, la forma casi simpléctica y la estructura compleja son paralelas, para la cual la torsión (considerada por la métrica como un 3-tensor) es sesgada. simétrica en los tres argumentos. Tal conexión se llama conexión de bismuto .

Literatura

Bishop R. L. , Crittenden R. J. La geometría de las variedades. — 1967.