Lema de Gauss sobre geodésicas

El lema geodésico de Gauss establece que cualquier esfera suficientemente pequeña centrada en un punto en una variedad de Riemann es perpendicular a cada geodésica que pasa por un punto.

El lema se utiliza para probar que las geodésicas son localmente las curvas más cortas , y es de fundamental importancia en el estudio de la convexidad geodésica y las coordenadas normales .

Redacción

Denote el espacio tangente en un punto de la variedad de Riemann y sea el mapa exponencial . Tenga en cuenta que para cualquier vector , el espacio tangente al espacio tangente se puede identificar con el propio espacio tangente . $T_{p}$ $pags$ $(M, g)$ $\exp _{p}\dos puntos T_{p}\to M$ ${\ estilo de visualización x \ en T_ {p}}$ $T_{x}T_{p}$ $T_{p}$

Para cualquier ${\ estilo de visualización x, v \ en T_ {p}}$

g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,

donde denota el diferencial del mapeo exponencial. $d_{x}\exp_{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp_{p}x}$

Enlaces

Derivación del lema de Gauss utilizando la mecánica hamiltoniana en YouTube