El lema geodésico de Gauss establece que cualquier esfera suficientemente pequeña centrada en un punto en una variedad de Riemann es perpendicular a cada geodésica que pasa por un punto.
El lema se utiliza para probar que las geodésicas son localmente las curvas más cortas , y es de fundamental importancia en el estudio de la convexidad geodésica y las coordenadas normales .
Denote el espacio tangente en un punto de la variedad de Riemann y sea el mapa exponencial . Tenga en cuenta que para cualquier vector , el espacio tangente al espacio tangente se puede identificar con el propio espacio tangente .
Para cualquier
donde denota el diferencial del mapeo exponencial.