La curva más corta es una curva en un espacio métrico que une dos de sus puntos y no excede en longitud a ninguna otra curva con los mismos extremos.
Un espacio con una métrica intrínseca , en el que para dos puntos cualesquiera existe un camino más corto que los conecta, se llama geodésica; las curvas más cortas en él son, por definición, geodésicas .
En un espacio completo con métrica intrínseca , la longitud de una curva más corta coincide con la distancia entre sus extremos.
Teorema de Hopf-Rinow : en un espacio de longitud localmente compacto , existe una curva más corta entre dos puntos cualesquiera.
En el caso general, puede que no haya un camino más corto entre puntos en un espacio métrico, pero incluso si existe, su longitud puede exceder la distancia entre los extremos.
Según el lema de Gauss , en una variedad de Riemann , cualquier parametrización natural más corta es una geodésica .