Granja de lemas

El lema de Fermat establece que la derivada de una función diferenciable en un punto extremo local es igual a cero.

Antecedentes

Newton se refirió a este hecho como el llamado . principio de parada [1] :

Cuando la magnitud es la mayor o la menor de todas las posibles, entonces en ese momento no fluye ni hacia adelante ni hacia atrás.isaac newton

Presentado por Nicholas Orezmsky en su doctrina de latitudes y longitudes [2] .

Redacción

Deje que la función tenga un extremo local en un punto interno del dominio de definición . Existan también derivadas unilaterales finitas o infinitas. Después $f:M\subconjunto \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,$ $x\en M^{0}$ $f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})$

si es un punto máximo local , entonces $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\leqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\geqslant 0;$
si es un punto mínimo local , entonces $x_{0}$ $f'_{+}(x_{0})\geqslant 0,\;f'_{-}(x_{0})\leqslant 0.$

En particular, si la función tiene una derivada , entonces $F$ $x_{0}$

f'(x_{0})=0.

Prueba

Supongamos que . entonces _ $f(x_{0})=\max _{{x\in (a,b)}}f(x)$ $\forall x\in (a,b)\colon f(x)\leqslant f(x_{0})$

Es por eso:

f'_{-}(x_{0})=\lim _{{{x\to x_{0}-0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\right)\geqslant 0,

f'_{+}(x_{0})=\lim _{{{x\to x_{0}+0}}\left({\frac {f(x)-f(x_{0})}{ x-x_{0}}}\right)\leqslant 0.

Si la derivada está definida, entonces obtenemos $f'(x_{0})$

0\leqslant f'_{-}(x_{0})=f'(x_{0})=f'_{+}(x_{0})\leqslant 0

eso es $f'(x_{0})=0$

Si es un punto mínimo local de la función , entonces la prueba es similar. $x_{0}$ $F$

Nota

La derivada de una función diferenciable en un punto extremo local es igual a cero. Su tangente en este punto es paralela al eje x . Lo contrario, en términos generales, no es cierto, es decir, de la igualdad a cero de la derivada en algún punto, no se sigue la presencia de un extremo local en ese punto.

Ejemplos

deja _ Entonces es un punto mínimo local, y $f(x)=|x|$ $x=0$

f'_{+}(0)=1\geqslant 0

, (la función en sí no es derivable en el punto ).

f'_{-}(0)=-1\leqslant 0

x=0

deja _ Entonces es un punto mínimo local, y $f(x) = x^2$ $x=0$

f'(0)=0

deja _ Después $f(x)=x^{3}$

f'(0)=0

, pero el punto no es un punto extremo local.

x=0

Véase también

Notas

↑ Fikhtengolts G. M. Capítulo XIV. Bosquejo histórico del surgimiento de las principales ideas del análisis matemático // Fundamentos del Análisis Matemático. - 4ª ed. - San Petersburgo. : "Lan", 2002. - T. 1. - S. 423. - 448 p. - (Libros de texto para universidades. Literatura especial). - 5000 copias. — ISBN 5-9511-0010-0 .
↑ Isaac Newton. Notas del traductor // Isaac Newton. Obras matemáticas = Isaaci Newtoni, Opuscula mathematica, philosophica et philologica, t. I, Lausannae et Geuevae 1744 / Traducción del latín, artículo introductorio y comentarios de D. D. Mordukhai-Boltovsky .. - M. - L . : ONTI, 1937. - S. 318. - 452 p. - ( Clásicos de las ciencias naturales ). Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 17 de enero de 2011. Archivado desde el original el 27 de febrero de 2011. (indefinido)