Lema Schura

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El lema de Schur es un enunciado que es uno de los principales en la construcción de la teoría de la representación de grupos .

Enunciado del lema

Se dice que una representación de un grupo por automorfismos de algún espacio vectorial es irreducible si no hay ningún subespacio invariante con respecto a 0 ya sí mismo . $GRAMO$ $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ $\sigma$ $V$

Lema de Schur : Sea un mapeo lineal de espacios vectoriales sobre algún campo tal que hay dos representaciones irreducibles y , tal que para todo . Después: $F$ $f:V_{1}\a V_{2}$ $k$ $\sigma :G\to GL(V_{1})$ $\tau :G\to GL(V_{2})$ ${\ estilo de visualización \ tau _ {g} f = f \ sigma _ {g}}$ $gramo$

1) Si no es un isomorfismo , entonces es un mapeo cero. $F$ $F$

2) Si son de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado y , entonces es una multiplicación por algún elemento del campo . $V_{1}=V_{2}$ $k$ $\sigma=\tau$ $F$ $f:x\a\lambda x$

Prueba

La base de la prueba es la siguiente declaración general, que también se denomina a menudo el "lema de Schur":

Sean y sean módulos que son simples (es decir, no tienen submódulos distintos de cero y sí mismo). Entonces cualquier homomorfismo es nulo o un isomorfismo en . $mi$ $F$ $f:E\flecha derecha F$ $F$

De hecho, dado que y son submódulos, entonces, si es un homomorfismo distinto de cero, tenemos , y , es decir , un isomorfismo para todo el módulo . ${\mathrm {Ker}}\,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $F$ ${\mathrm {Ker}}\,f=0$ ${\mathrm {Im}}\,f=F$ $F$ $F$

Ahora vamos a definir el anillo de grupo . Los elementos de este anillo serán combinaciones lineales . La multiplicación está determinada además por la linealidad. Está claro que el anillo. En el espacio , definimos la multiplicación de un elemento de por un elemento : . Así, nos convertimos en un módulo sobre el ring . Verificar los axiomas de un módulo es trivial, porque es una representación. de manera similar, reemplazar con será un módulo sobre , y la igualdad es que el mapeo es un homomorfismo de módulos. Como y son irreducibles, lo que significa que y son simples como módulos sobre , la primera parte del lema está demostrada. $KG]$ $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ $KG]$ $V_{1}$ $KG]$ $x\en V_{1}$ $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma_{{g_{1}}}x +k_{2}\sigma_{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma_{{g_{n}}}x$ $V_{1}$ $KG]$ $\sigma$ $V_{2}$ $\sigma$ $\tau$ $KG]$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ $F$ $\sigma$ $\tau$ $V_{1}$ $V_{2}$ $KG]$

Para probar la segunda parte, usamos el conocido enunciado del álgebra lineal sobre la existencia de un vector propio para un espacio de dimensión finita sobre un campo algebraicamente cerrado correspondiente al valor propio , . Para cualquier elemento tenemos , y para el vector propio , por tanto , según la primera parte del lema, es un homomorfismo cero, y por tanto es una multiplicación por algún . $x\neq 0$ $\lambda$ $f(x)=\lambda x$ $g\in g$ $\sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id})=(f-\lambda \operatorname {id})\sigma _{g}$ $(f-\lambda\operatorname {id} )(x)=0,$ $f-\lambda\nombre del operador {id}$ $F$ $\lambda$

Literatura

Kostrikin I.A. Introducción al álgebra. Parte III. Estructuras básicas. - 3ª ed.- M. : FIZMATLIT, 2004.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.
Serre J.-P. Representaciones lineales de grupos finitos. — M .: Mir, 1969.