Función zeta local

La función zeta de congruencia es un prototipo para construir la importante función L de Hasse-Weil , una serie de la forma

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}T^{k}\right )

construido sobre la secuencia del número de puntos de una variedad afín o proyectiva en campos finitos. $N_{k}$ $V$

Función zeta local . Para ello, existe un análogo de la hipótesis de Riemann . ${\ estilo de visualización \ zeta (X, s) = Z (X, p ^ {-s})}$

Definición

Sea una variedad afín o proyectiva sobre un campo finito . La función zeta de congruencia de una variedad se define como una serie de potencia formal $V$ $\mathbb {F} _{q}$ $V$ $\mathbb {F} _{q}$

Z(V/\mathbb {F} _{q},T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k)){ k}}T^{k}\right)

donde , y es el número de puntos en . Los números son finitos debido a la finitud de cualquier variedad afín o proyectiva de dimensión finita sobre un campo finito. $\exp(u)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {u^{k}}{k!)}}$ $N_{k}$ $V$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {F} _ {q^{k}}}$ $N_{k}$

Una función zeta local es una función , aquí hay una característica del campo , es una variable compleja. ${\ estilo de visualización \ zeta (X, s) = Z (X, p ^ {-s})}$ $pags$ $\mathbb {F} _{q}$ $s\in \mathbb {C}$

Ejemplos

Tome la ecuación , geométricamente esto significa que es solo un punto. En este caso, todos . Después $x=0$ $V$ ${\ estilo de visualización N_ {k} = 1}$

Z(V,t)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp (-\ln(1-T))={\frac{1}{1-T))

Sea una línea proyectiva sobre . Si , entonces tiene un punto: todos los puntos del campo y un punto infinito. Como consecuencia $V$ $0x=0$ $F$ $F=\mathbb {F} _{q^{k))$ $V$ $N_{k}=q^{k}+1$

Z(V,T)=\exp \left(\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {(qT)^{k)){k))+{\frac {T^{k}}{k}}\right)=\exp \left(-\ln(1-qT)-\ln(1-T)\right)={\frac {1}{(1- T)(1-qT)}}

Propiedades

${\ estilo de visualización Z (X, T)}$ representado como un producto infinito

Z(X,T)=\prod \limits _{x}(1-T^{\deg(x)})^{-1},

donde pasa por todos los puntos cerrados y es el grado de . En el caso , que se discutió anteriormente, los puntos cerrados son clases de equivalencia de puntos , donde dos puntos son equivalentes si están conjugados sobre el campo . El grado es el grado de expansión del campo generado por las coordenadas . Entonces la derivada logarítmica del producto infinito será igual a la función generadora $X$ $X$ ${\ estilo de visualización \ grado x}$ $X$ ${\ estilo de visualización X = V}$ ${\ estilo de visualización x = [P]}$ $P\en {\overline {V}}$ $F$ $X$ $F$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización Z (X, T)}$

N_{1}+N_{2}t^{1}+N_{3}t^{2}+\cdots\,

Si es una curva elíptica, entonces en este caso la función zeta es igual a $mi$

Z(E/\mathbb {F} _{q},T)={\frac {1-2a_{E}T+qT^{2}}{(1-T)(1-qT)} }

Si , entonces converge en un círculo abierto de radio . ${\displaystyle (\forall k)N_{k}<CA^{k))$ ${\ estilo de visualización Z (T)}$ $R=A^{-1}$

Si , y son las funciones zeta correspondientes, entonces . ${\displaystyle N_{k}=N_{k}^{(1)}+N_{k}^{(2)))$ $Z(T),Z^{(1)}(T),Z^{(2)}(T)$ $Z(T)=Z^{(1)}(T)Z^{(2)}(T)$

Si , entonces . $N_{k}=\beta _{1}^{k}+...+\beta _{t}^{k}-\alpha _{1}^{k}-...-\ alfa _ {s}^{k}$ $Z(T)={\frac {(1-\alpha_{1}T)...(1-\alpha_{s}T)}{(1-\beta_{1}T) ...(1-\beta_{t}T)}}$

Aplicación

La función L de Hasse-Weyl se define en términos de la función zeta de congruencia de la siguiente manera

L(V,s)={\dfrac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\prod \limits _{p}Z(V/\mathbb {F} _{p}, p^{-s})}}

Conjetura de Riemann para curvas sobre campos finitos

Si es una curva proyectiva no singular sobre , entonces se puede demostrar que $C$ $F$

Z(C,T)={\frac {P(t)}{(1-T)(1-qT)))\ ,

donde es un polinomio de grado , donde es el género de la curva . Imaginar $P(t)$ ${\ estilo de visualización 2g}$ $gramo$ $C$

P(t)=\prod \limits_{i=1}^{2g}(1-\omega_{i}t)\ ,

entonces la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos establece que

{\ estilo de visualización | \ omega _ {i} | = q ^ {1/2}}

Para la función zeta local, esta declaración es equivalente al hecho de que la parte real de las raíces es . ${\ estilo de visualización \ zeta (X, s)}$ $1/2$

Por ejemplo, para una curva elíptica , obtenemos el caso cuando hay exactamente 2 raíces, y luego podemos demostrar que los valores absolutos de la raíz son iguales . Este caso es equivalente al teorema de Hasse sobre la estimación del número de puntos de una curva en un campo finito. ${\ estilo de visualización {\ sqrt {q))}$

Fórmulas generales para la función zeta

De la fórmula de trazas de Lefschetz para el morfismo de Frobenius se deduce que

Z(X,T)=\prod \limits _{i=0}^{2\dim X}\det(1-T\operatorname {Frob} _{q}|H_{c}^{i }({\overline {X)),{\mathbb {Q} }_{\ell }))^{(-1)^{i+1)).

Aquí hay un esquema separable de tipo finito sobre un campo finito , y es una acción geométrica de Frobenius sobre una cohomología -adic etale con soporte compacto . Esto muestra que la función zeta dada es una función racional . $X$ $\mathbb {F} _{q}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Frob} _ {q}}$ $\ana$ $\overline {X}$ $T$

Literatura

Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna. — M .: Mir, 1987. — 428 p.
Koblitz N. Introducción a las curvas elípticas y formas modulares. — M .: Mir, 1988. — 319 p.
Hartshorne R. Geometría algebraica. — M .: Mir, 1981. — 597 p.