Inducción magnética

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Inducción magnética
${\ vec {B}}$
Dimensión	MT -2 I -1
Unidades
SI	Tl
SGA	g
notas
Cantidad vectorial

La inducción magnética es una cantidad física vectorial que es una fuerza característica de un campo magnético , es decir, una característica de su acción sobre partículas cargadas en movimiento y sobre cuerpos con un momento magnético .

Notación estándar: ; la unidad de medida en SI es tesla (T), en CGS es gauss (Gs) (relación: 1 T = 10 4 Gs). ${\ vec {B}}$

El valor de la inducción magnética aparece en varias de las fórmulas más importantes de la electrodinámica , incluidas las ecuaciones de Maxwell .

Para medir la inducción magnética se utilizan magnetómetros-teslametros . También se puede encontrar por cálculo: en una situación estática, es suficiente conocer la distribución espacial de las corrientes . ${\ vec {B}}$

El vector generalmente depende de las coordenadas del punto considerado y del tiempo . No es invariante con respecto a las transformaciones de Lorentz y cambia cuando se cambia el sistema de referencia . ${\ vec {B}}$ $t$

Significado físico

La inducción magnética es un vector tal que la fuerza de Lorentz que actúa desde el lado del campo magnético [1] sobre una carga que se mueve a una velocidad es igual a ${\ vec {B}}$ ${\vec{F}}$ ${\ estilo de visualización q^{*}}$ ${\ vec {v}}$

{\vec {F}}=q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]

(en tamaño ).

F=q^{*}vB\sen\alfa

Una cruz oblicua denota un producto vectorial , α es el ángulo entre los vectores de velocidad e inducción magnética (el vector es perpendicular a ambos y está dirigido de acuerdo con la regla de la mano izquierda ). ${\vec{F}}$

Además, la inducción magnética se puede definir [2] como la relación entre el momento mecánico máximo de las fuerzas que actúan sobre un bucle portador de corriente colocado en un campo magnético supuestamente uniforme (a distancias del orden del tamaño del bucle), al producto de la fuerza actual en el lazo y su área . El momento de las fuerzas depende de la orientación del marco y alcanza su valor máximo en algunos ángulos específicos. El asterisco junto al símbolo indica que la carga o corriente es de “prueba”, es decir, se utiliza específicamente para el registro de campo, a diferencia de los mismos valores sin asterisco. $yo^*$

La inducción magnética es la característica principal y fundamental del campo magnético, similar al vector de fuerza del campo eléctrico . ${\ vec {E}}$

Métodos de cálculo

Caso general

En el caso general, el cálculo de la inducción magnética se realiza junto con el cálculo de la componente eléctrica del campo electromagnético resolviendo el sistema de ecuaciones de Maxwell:

\mathrm {div} \,(\varepsilon {\vec {E)))={\frac {\rho }{\varepsilon _{0))},\ \ \ \mathrm {rot} \,{ \vec {E}}=-{\frac {\parcial {\vec {B}}}{\parcial t)),

\mathrm {div} \,{\vec {B}}=0,\ \ \ \ \,\mathrm {rot} \,{\frac {\vec {B}}{\mu }}=\ mu _{0}{\vec {j}}+{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\parcial {\vec {E}}}{\parcial t}}

donde es la constante magnética , es la permeabilidad magnética , es la permitividad y es la velocidad de la luz en el vacío. La densidad de carga (C/m 3 ) y la densidad de corriente (A/m 2 ) se denotan por. $\mu_{0}$ $\mu$ $\varepsilon$ $C$ $\rho$ $\vec{j}$

Magnetostática

En el límite magnetostático [3] , el cálculo del campo magnético se puede realizar mediante la fórmula de Biot-Savart-Laplace . La forma de esta fórmula es algo diferente para situaciones en las que el campo lo crea la corriente que fluye a través del cable y cuando lo crea la distribución del volumen de la corriente: $L_{1}$ $yo$

{\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int \limits _{L_{1}}{\ fracción {I\left({\vec {r}}_{1}\right)d{\vec {l}}_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r }}_{1}\right)}{\left|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right|^{3}}},\qquad {\vec {B }}\left({\vec {r}}\right)={\mu _{0} \over 4\pi }\int {\frac ({\vec {j}}\left({\vec {r }}_{1}\right)dV_{1}\times \left({\vec {r}}-{\vec {r}}_{1}\right)}{\left|{\vec {r }}-{\vec{r}}_{1}\right|^{3}}}

En magnetostática, esta fórmula juega el mismo papel que la ley de Coulomb en electrostática. La fórmula le permite calcular la inducción magnética en el vacío. Para el caso de un medio magnético, es necesario utilizar las ecuaciones de Maxwell (sin términos con derivadas temporales).

Si la geometría del campo es obvia de antemano, el teorema de Ampère sobre la circulación del campo magnético [4] ayuda (esta notación es la forma integral de la ecuación de Maxwell para el vacío): $\mathrm {rot} \,{\vec {B}}$

\oint \limits _{L}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu _{0}\int \limits _{S}{\vec {j}} \cdot d{\vec {S}}

Aquí , hay una superficie arbitraria atravesada por el contorno cerrado seleccionado . $S$ $L$

Ejemplos simples

El vector de inducción magnética de un alambre recto con corriente a una distancia de él es $yo$ $a$

{\vec {B}}={\frac {\mu _{0}\mu I}{2\pi a}}\cdot {\vec {e}}_{\varphi }

donde es el vector unitario a lo largo del círculo a lo largo del eje de simetría del cual se coloca el cable. Se supone que el ambiente es homogéneo. ${\vec {e}}_{\varfi}$

El vector de inducción magnética de una línea recta dentro de un solenoide con corriente y el número de vueltas por unidad de longitud es igual a $yo$ $norte$

{\vec {B}}=\mu _{0}\mu nI\cdot {\vec {e}}_{z}

donde es el vector unitario a lo largo del eje del solenoide. También asume la homogeneidad del imán con el que se llena el solenoide. ${\vec{e}}_{z}$

Relación con la tensión

La inducción magnética y la fuerza del campo magnético están relacionadas a través de la relación

{\vec {B}}=\mu _{0}\mu {\vec {H}}

donde es la permeabilidad magnética del medio (en términos generales, este es un valor tensorial , pero en la mayoría de los casos reales puede considerarse un escalar, es decir, simplemente una constante de un material en particular). $\mu$

Ecuaciones Básicas

Dado que el vector de inducción magnética es una de las principales cantidades físicas fundamentales en la teoría del electromagnetismo, se incluye en un gran número de ecuaciones, a veces directamente, a veces a través de la fuerza del campo magnético asociado a él . De hecho, la única área en la teoría clásica del electromagnetismo donde está ausente es la electrostática .

Algunas de las ecuaciones:

Tres de las cuatro ecuaciones de Maxwell escritas anteriormente (ecuaciones básicas de electrodinámica). Su contenido físico: la ecuación para - la ley de ausencia de monopolo , para - la ley de Faraday de inducción electromagnética , para - la ley de Ampère-Maxwell . $\mathrm {div} \,{\vec {B}}$ $\mathrm {rot} \,{\vec {E}}$ $\mathrm {rot} \,{\vec {B}}$
Fórmula de fuerza de Lorentz en presencia de campos magnéticos ( ) y eléctricos ( ): ${\ vec {B}}$ ${\ vec {E}}$ ${\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}\left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right ]$ .
Expresión para la fuerza de amperios que actúa desde el lado del campo magnético sobre la corriente (sección del cable con corriente): $d{\vec {F}}=\left[I^{*}{\vec {dl}}\times {\vec {B}}\right]$ o . $d{\vec {F}}=\left[{\vec {j}}^{*}dV\times {\vec {B}}\right]$
Expresión para el momento de la fuerza que actúa del lado del campo magnético sobre un dipolo magnético (bobina con corriente, bobina o imán permanente): $m^{*}$ ${\vec {M}}={\vec {m}}^{*}\times {\vec {B}}$ .
La expresión de la energía potencial de un dipolo magnético en un campo magnético es: $U=-{\vec {m}}^{*}\cdot {\vec {B}}$ ,

de donde se siguen las expresiones para la fuerza que actúa sobre un dipolo magnético en un campo magnético no homogéneo,

La expresión de la fuerza que actúa del campo magnético sobre una carga magnética puntual : ${\vec {F}}=K{\frac {q_{m}^{*}{\vec {r}}}{r^{3}}}.$

(esta expresión, que corresponde exactamente a la habitual ley de Coulomb, es muy utilizada para cálculos formales, para los que es valiosa su sencillez, a pesar de que en la naturaleza no se han encontrado cargas magnéticas reales; también se puede aplicar directamente al cálculo de la fuerza que actúa del campo magnético sobre el imán o solenoide de polo largo y delgado).

Expresión para la densidad de energía del campo magnético $w={\frac {B^{2}}{2\mu _{0}\mu }}$ .

Entra (junto con la energía del campo eléctrico) tanto en la expresión de la energía del campo electromagnético, como en el Lagrangiano del campo electromagnético, y en su acción . Esta última, desde un punto de vista moderno, es la base fundamental de la electrodinámica (tanto clásica como, en principio, cuántica).

Valores típicos

valores característicos de la inducción magnética

un objeto	$B$ , T	un objeto	$B$ , T
habitación protegida magnéticamente	10-14 _	mancha solar	0.15
espacio interestelar	10 -10	imán pequeño (Nd-Fe-B)	0.2
campo magnético de la tierra	5*10 -5	gran electroimán	1.5
1 cm de un alambre con una corriente de 100 A	2*10 -3	fuerte imán de laboratorio	diez
imán pequeño (ferrita)	0.01	la superficie de una estrella de neutrones	10 8

Notas

↑ Si tenemos en cuenta la acción del campo eléctrico , entonces la fórmula para la fuerza de Lorentz (total) toma la forma: ${\ vec {E}}$ ${\vec {F}}=q^{*}{\vec {E}}+q^{*}[{\vec {v}}\times {\vec {B}}].$ En ausencia de un campo eléctrico (o si el término que describe su acción se sustrae específicamente de la fuerza total), tenemos la fórmula dada en el texto principal.
↑ Esta definición, desde un punto de vista moderno, es menos fundamental que la anterior (y es simplemente su consecuencia), pero desde el punto de vista de la proximidad a uno de los métodos prácticos para medir la inducción magnética, puede ser útil; también desde un punto de vista histórico.
↑ Es decir, en el caso especial de corrientes constantes y campos eléctricos y magnéticos constantes, o -aproximadamente- si los cambios son tan lentos que pueden despreciarse.
↑ Siendo un caso magnetostático especial de la ley de Ampère-Maxwell .