Dimensión de una cantidad física
La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 29 de septiembre de 2021; las comprobaciones requieren 3 ediciones .La dimensión de una cantidad física es una expresión que muestra la relación de esta cantidad con las cantidades básicas de un sistema dado de cantidades físicas ; se escribe como producto de las potencias de los factores correspondientes a las magnitudes principales, en las que se omiten los coeficientes numéricos [1] [2] .
Hablando de dimensión, se debe distinguir entre los conceptos de un sistema de cantidades físicas y un sistema de unidades .
El sistema de magnitudes físicas y el sistema de unidades
Un sistema de magnitudes físicas se entiende como un conjunto de magnitudes físicas junto con un conjunto de ecuaciones que relacionan dichas magnitudes entre sí. A su vez, el sistema de unidades es un conjunto de unidades básicas y derivadas, junto con sus múltiplos y submúltiplos, determinadas de acuerdo con las reglas establecidas para un determinado sistema de magnitudes físicas [1] .
Todas las magnitudes incluidas en el sistema de magnitudes físicas se dividen en básicas y derivadas. Bajo el principal se entienden los valores, elegidos condicionalmente como independientes para que ningún valor principal pueda expresarse a través de otro básico. Todas las demás cantidades del sistema se determinan a través de las cantidades principales y se denominan derivadas [1] .
Cada cantidad básica está asociada con un símbolo de dimensión en forma de letra mayúscula del alfabeto latino o griego. En varios sistemas de cantidades físicas, se utilizan las siguientes designaciones de dimensiones [3] :
| Cantidad básica | Símbolo de dimensión |
|---|---|
| Longitud | L |
| Peso | METRO |
| Tiempo | T |
| Electricidad | yo |
| Temperatura termodinámica | Θ |
| Cantidad de sustancia | norte |
| El poder de la luz | j |
| Fuerza | F |
Además, las dimensiones de las cantidades derivadas se denotan con estos símbolos.
Los símbolos de dimensión también se utilizan para designar sistemas de cantidades [4] . Entonces, un sistema de cantidades, cuyas principales cantidades son la longitud, la masa y el tiempo, se denota como LMT . Sobre esta base, se formaron sistemas de unidades como SGS , MKS y MTS . Sobre la base del sistema LFT , en el que las magnitudes principales son la longitud, la fuerza y el tiempo, se creó el sistema de unidades MKGSS [1] .
En el Sistema Internacional de Cantidades ( English International System of Quantities, ISQ ), en el que se basa el Sistema Internacional de Unidades (SI) , la longitud , la masa , el tiempo , la corriente eléctrica , la temperatura termodinámica , la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia se eligen como cantidades basicas . Los símbolos de sus dimensiones se dan arriba en la tabla [2] . En consecuencia, el Sistema Internacional de Unidades se denota con los símbolos LMTIΘNJ .
Dimensiones de cantidades derivadas
Para indicar las dimensiones de las cantidades derivadas, se usa el símbolo dim (del inglés dimension - size, dimension). A veces, la dimensión se indica encerrando el valor entre corchetes: .
![{\ estilo de visualización \ dim v \ equivalente [v]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e965bb9b452ad632ec1b53178f884ce07d6029)
Por ejemplo, para velocidad con movimiento uniforme,
donde es la longitud del camino recorrido por el cuerpo en el tiempo . Para determinar la dimensión de la velocidad, en lugar de la longitud del camino y el tiempo, sustituya sus dimensiones en esta fórmula:
De manera similar, para la dimensión de la aceleración, obtenemos
De la ecuación de la segunda ley de Newton, teniendo en cuenta la dimensión de la aceleración por la dimensión de la fuerza en el Sistema Internacional de Magnitudes y en cualquier otro sistema donde se utilice como magnitudes básicas la longitud, la masa y el tiempo, se sigue:
En el caso general, la dimensión de una cantidad física es el producto de las dimensiones de las cantidades básicas elevadas a varias potencias racionales [5] . Los exponentes en esta expresión se llaman las dimensiones de la cantidad física. Si en la dimensión de una cantidad, al menos una de las dimensiones no es igual a cero, entonces dicha cantidad se llama dimensional , si todas las dimensiones son iguales a cero - adimensional [1] [6] .
Como se desprende de lo anterior, la dimensión de una cantidad física depende del sistema de cantidades utilizado. Así, por ejemplo, la dimensión de la fuerza en el sistema LMT , como se indicó anteriormente, se expresa mediante la igualdad dim F = LMT -2 , y en el sistema LFT se cumple dim F = F. Además, una cantidad adimensional en un sistema de cantidades puede volverse dimensional en otro. Por ejemplo, en el sistema LMT , la capacitancia eléctrica tiene la dimensión L y la relación entre la capacitancia de un cuerpo esférico y su radio es una cantidad adimensional, mientras que en el Sistema Internacional de Cantidades (ISQ) esta relación no es adimensional. Sin embargo, muchos números adimensionales utilizados en la práctica (por ejemplo, criterios de similitud , constante de estructura fina en física cuántica o Mach , Reynolds , Strouhal y otros números en mecánica continua ) caracterizan la influencia relativa de ciertos factores físicos y son la relación de cantidades con el mismas dimensiones, por lo tanto, a pesar de que las cantidades incluidas en ellos en diferentes sistemas pueden tener diferentes dimensiones, ellos mismos siempre serán adimensionales.
Comprobación de dimensiones
En las fórmulas que tienen un significado físico, solo se pueden sumar, restar o comparar cantidades que tengan la misma dimensión. Por ejemplo, sumar la masa de un objeto a la longitud de otro objeto no tiene sentido. También es imposible decir qué es más: 1 kilogramo o 3 segundos . De esta regla, en particular, se sigue que los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones deben tener la misma dimensión.
Además, los argumentos de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas deben ser cantidades adimensionales.
Estas reglas se utilizan para comprobar la exactitud de las fórmulas físicas. Si alguno de ellos se viola en la ecuación resultante, entonces está claro que se cometió un error en los cálculos.
Fórmula de dimensión
La fórmula para la dimensión de la cantidad dependiente (con el sistema de cantidades elegido) se deriva del requisito de que la relación de dos valores numéricos de la cantidad dependiente no dependa de las escalas elegidas de las principales. Esto lleva al hecho de que la dimensión de la cantidad dependiente siempre tiene la forma de una dependencia de poder.
Es decir, la fórmula de la dimensión , donde es el valor dependiente, y el conjunto son los principales. Los corchetes indican que las dimensiones están involucradas en la expresión.
Prueba![{\displaystyle [y]=C[x_{1}]^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot [x_{n}]^{\alpha _{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d5511e23f48d50d2845a6a7992dc84a3a5fc32)
Para la cantidad dependiente , donde es la variable principal, la condición impuesta dice que
Donde deberiamos
Donde la función g depende únicamente de la escala. Por lo tanto, para una medida escrita en diferentes escalas:
.
Reescalando , da como resultado una propiedad
.
Derivando las igualdades extremas se obtiene:
En el punto
donde es un numero. La integración lleva al hecho de que . donde _
![{\ estilo de visualización [y] = C [x] ^ {\ alfa}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42f4d9327a1f2ce522cf80dfb524bd14c707c24b)
Si el resultado obtenido se aplica a escalas fijas de todas las cantidades básicas excepto , entonces se sigue de .
Así, la fórmula general para la dimensión .
Con base en esta fórmula, se puede obtener una regla de dimensión ( teorema Pi ), que establece que en variables adimensionales, el número de parámetros del problema se puede reducir por el número de cantidades independientes de la dimensión.
Análisis dimensional
El análisis dimensional es un método utilizado por los físicos para construir hipótesis razonables sobre la relación entre varios parámetros dimensionales de un sistema físico complejo. A veces, el análisis dimensional se puede utilizar para obtener fórmulas listas para usar (hasta una constante adimensional). La esencia del método radica en el hecho de que a partir de los parámetros que caracterizan el sistema, se compila una expresión que tiene la dimensión deseada.
Al analizar las dimensiones de las fórmulas, la dimensión del lado izquierdo de la ecuación debe ser igual a la dimensión del lado derecho de la ecuación. La ausencia de tal igualdad indica la incorrección de la fórmula. Sin embargo, la presencia de tal igualdad no da una garantía del 100% de la exactitud de la fórmula.
Véase también
Notas
- ↑ 1 2 3 4 5 Chertov A. G. Unidades de cantidades físicas. - M. : Escuela Superior, 1977. - S. 7-9. — 287 pág.
- ↑ 1 2 Diccionario internacional de metrología: conceptos básicos y generales y términos relacionados / Per. De inglés. y fr .. - 2ª ed., corregida. - San Petersburgo. : NPO "Professional", 2010. - S. 17. - 82 p. - ISBN 978-5-91259-057-3 .
- ↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Unidades de cantidades. Referencia del diccionario. - M. : Editorial de Normas, 1990. - S. 18. - 240 p. — ISBN 5-7050-0118-5 .
- ↑ RMG 29-99. Metrología. Términos básicos y definiciones. . Consultado el 29 de abril de 2013. Archivado desde el original el 11 de octubre de 2014.
- ↑ Sivukhin D.V. Curso general de física. Mecánica. - M., Nauka, 1979. - Circulación 50.000 ejemplares. - Con. 433
- ↑ Sena L. A. Dimensión // Enciclopedia física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1994. - T. 4 Efecto Poynting-Robertson - Serpentinas. - S. 244. - 704 pág. - 40.000 copias. - ISBN 5-85270-087-8 .
Véase también
Literatura
- Sena L. A. Unidades de cantidades físicas y sus dimensiones. — M.: Nauka , 1977. — 336 p.