Macizo de Costas

En matemáticas , la matriz de Costas (llamada así por John P. Costas) se puede considerar geométricamente como un conjunto de n puntos que se encuentran en los cuadrados de un tablero de ajedrez de n × n , de modo que cada fila o columna contiene solo un punto y todos los n ( n − 1 )/2 vectores de desplazamientos entre cada par de puntos eran diferentes. Esta matriz se puede usar para crear una función de botón de incertidumbre ideal (es decir, una función que es infinita en (0,0) y cero en otros puntos), lo que hace que las matrices de Costas sean útiles para aplicaciones como hidro y radar.

La matriz de Costas se puede representar digitalmente como una matriz de n × n números, donde a cada punto se le asigna un 1 y, en ausencia de un punto, se escribe en la matriz un 0. Si se interpretan como matrices binarias, estas matrices de números tienen la propiedad: cada fila y cada columna tiene un solo punto, por lo que también son matrices de permutación. Por lo tanto, las matrices de Costas para cualquier n son un subconjunto de matrices de permutación de orden n .

Los arreglos de Costas se pueden ver como análogos bidimensionales de las reglas Golomb unidimensionales . Son de interés matemático, se utilizan en el desarrollo de la tecnología de radar en arreglos en fase .

Se conocen todas las matrices de Costas hasta el tamaño 27 × 27 [1] . Hay dos formas de obtener arreglos de Costas, trabajando con varios números primos y potencias de números primos. Se conocen como los métodos de Welch (Lloyd R. Welch) y Lempel-Golomb, y se originaron en las matemáticas a partir de la teoría de campos finitos .

Hasta el momento, se desconocen todos los arreglos de Costas para todos los tamaños. Actualmente, los tamaños más pequeños para los que se desconocen las matrices son 32×32 y 33×33.

Definición de matrices

Las matrices se describen normalmente como una serie de índices que indican las columnas de cada fila. Dado que solo hay un punto en cualquier columna, la matriz se puede representar como unidimensional. Por ejemplo, una matriz de Costas de orden N = 4:

0	una	0	0
una	0	0	0
0	0	una	0
0	0	0	una

Hay puntos con coordenadas: (1,2), (2,1), (3,3), (4,4)

La coordenada x aumenta linealmente, podemos escribir esto brevemente como una secuencia de coordenadas y . Entonces la posición en el conjunto será la coordenada x . La matriz anterior se puede codificar con la secuencia {2,1,3,4}. Esto facilita el manejo de matrices de orden N .

Matrices conocidas

norte = 1
{1}

N = 2
{1,2}{2,1}

N = 3
{1,3,2}{2,1,3}{2,3,1}{3,1,2}

N = 4
{1,2,4,3}{1,3,4,2}{1,4,2,3}{2,1,3,4}{2,3,1,4}{2 ,4,3,1} {3,1,2,4} {3,2,4,1} {3,4,2,1} {4,1,3,2} {4,2,1, 3}{4,3,1,2}

N = 5
{1,3,4,2,5} {1,4,2,3,5} {1,4,3,5,2} {1,4,5,3,2} {1, 5,3,2,4} {1,5,4,2,3} {2,1,4,5,3} {2,1,5,3,4} {2,3,1,5, 4} {2,3,5,1,4} {2,3,5,4,1} {2,4,1,5,3} {2,4,3,1,5} {2,5 ,1,3,4} {2,5,3,4,1} {2,5,4,1,3} {3,1,2,5,4} {3,1,4,5,2 } {3,1,5,2,4} {3,2,4,5,1} {3,4,2,1,5} {3,5,1,4,2} {3,5, 2,1,4} {3,5,4,1,2} {4,1,2,5,3} {4,1,3,2,5} {4,1,5,3,2} {4,2,3,5,1} {4,2,5,1,3} {4,3,1,2,5} {4,3,1,5,2} {4,3,5 ,1,2} {4,5,1,3,2} {4,5,2,1,3} {5,1,2,4,3} {5,1,3,4,2} { 5,2,1,3,4} {5,2,3,1,4} {5,2,4,3,1} {5,3,2,4,1}

N = 6
{1,2,5,4,6,3} {1,2,6,4,3,5} {1,3,2,5,6,4} {1,3,2,6 ,4,5} {1,3,6,4,5,2} {1,4,3,5,6,2} {1,4,5,3,2,6} {1,4,6 ,5,2,3} {1,5,3,4,6,2} {1,5,3,6,2,4} {1,5,4,2,3,6} {1,5 ,4,6,2,3} {1,5,6,2,4,3} {1,5,6,3,2,4} {1,6,2,4,5,3} {1 ,6,3,2,4,5} {1,6,3,4,2,5} {1,6,3,5,4,2} {1,6,4,3,5,2} {2,3,1,5,4,6} {2,3,5,4,1,6} {2,3,6,1,5,4} {2,4,1,6,5, 3} {2,4,3,1,5,6} {2,4,3,6,1,5} {2,4,5,1,6,3} {2,4,5,3, 6,1} {2,5,1,6,3,4} {2,5,1,6,4,3} {2,5,3,4,1,6} {2,5,3, 4,6,1} {2,5,4,6,3,1} {2,6,1,4,3,5} {2,6,4,3,5,1} {2,6, 4,5,1,3} {2,6,5,3,4,1} {3,1,2,5,4,6} {3,1,5,4,6,2} {3, 1,5,6,2,4} {3,1,6,2,5,4} {3,1,6,5,2,4} {3,2,5,1,6,4} { 3,2,5,6,4,1} {3,2,6,1,4,5} {3,2,6,4,5,1} {3,4,1,6,2,5 } {3,4,2,6,5,1} {3,4,6,1,5,2} {3,5,1,2,6,4} {3,5,1,4,2 ,6} {3,5,2,1,6,4} {3,5,4,1,2,6} {3,5,4,2,6,1} {3,5,6,1 ,4,2} {3,5,6,2,1,4} {3,6,1,5,4,2} {3,6,4,5,2,1} {3,6,5 ,1,2,4} {4,1,2,6,5,3} {4,1,3,2,5,6} {4,1,6,2,3,5} {4,2 ,1,5,6,3} {4,2,1,6,3,5} {4,2,3,5,1,6} {4,2,3,6,5,1} {4 ,2,5,6,1,3} {4,2,6,3,5,1} {4,2,6,5,1,3} {4,3,1,6,2,5} {4,3,5,1,2,6} {4,3,6,1,5,2} {4,5,1,3,2,6} {4,5,1,6,3,2} {4,5,2,1,3,6} {4,5,2,6,1, 3} {4,6,1,2,5,3} {4,6,1,5,2,3} {4,6,2,1,5,3} {4,6,2,3, 1,5} {4,6,5,2,3,1} {5,1,2,4,3,6} {5,1,3,2,6,4} {5,1,3, 4,2,6} {5,1,6,3,4,2} {5,2,3,1,4,6} {5,2,4,3,1,6} {5,2, 4,3,6,1} {5,2,6,1,3,4} {5,2,6,1,4,3} {5,3,2,4,1,6} {5, 3,2,6,1,4} {5,3,4,1,6,2} {5,3,4,6,2,1} {5,3,6,1,2,4} { 5,4,1,6,2,3} {5,4,2,3,6,1} {5,4,6,2,3,1} {6,1,3,4,2,5 } {6,1,4,2,3,5} {6,1,4,3,5,2} {6,1,4,5,3,2} {6,1,5,3,2 ,4} {6,2,1,4,5,3} {6,2,1,5,3,4} {6,2,3,1,5,4} {6,2,3,5 ,4,1} {6,2,4,1,5,3} {6,2,4,3,1,5} {6,3,1,2,5,4} {6,3,2 ,4,5,1} {6,3,4,2,1,5} {6,4,1,3,2,5} {6,4,5,1,3,2} {6,4 ,5,2,1,3} {6,5,1,3,4,2} {6,5,2,3,1,4}

Una base de datos completa de matrices para todas las dimensiones, que han sido revisadas cuidadosamente, está disponible aquí [2]

Edificio

galés (galés)

El arreglo de Welch-Costas , o simplemente el arreglo de Welch (Welch ) , es un arreglo de Costas obtenido usando un método desarrollado por Lloyd R. Welch . Una matriz de Welch-Costas se construye tomando la raíz primitiva g de un número primo p y definiendo una matriz A , donde si , de lo contrario 0. El resultado es una matriz de Costas de tamaño p − 1. ${\ estilo de visualización A_ {i, j} = 1}$ $i\equiv g^{j}{\bmod {p))$

Ejemplo

3 es una raíz primitiva módulo 5.

{\ estilo de visualización 3 ^ {1} = 3}

3^{2}=9\equiv 4{\pmod {5}}

3^{3}=27\equiv 2{\pmod {5}}

3^{4}=81\equiv 1{\pmod {5}}

Por lo tanto [3 4 2 1] es una permutación de Costas. Esta es una matriz exponencial discreta de Welch (Welch). La matriz transpuesta es una matriz logarítmica discreta de Welch.

El número de matrices de Welch-Costas que existen para un tamaño dado depende de la función de Euler .

Lempel-Golomb

El método Lempel-Golomb utiliza los elementos primitivos α y β del campo finito GF( q ) y determina de manera similar si , de lo contrario 0. El resultado es un arreglo de Costas de tamaño q − 2. Si α + β = 1, entonces el primer la fila y la columna se eliminan para formar otra matriz de Costas de tamaño q − 3: no se sabe si existen tales pares de elementos primitivos para cada potencia de q . ${\ estilo de visualización A_ {i, j} = 1}$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {i} + \ beta ^ {j} = 1}$

Véase también

Literatura

Costas, JP Un estudio de una clase de formas de onda de detección que tienen propiedades de ambigüedad Doppler de rango casi ideales // Actas de la IEEE : diario. - 1984. - vol. 72 , núm. 8 _ - Pág. 996-1009 .
Golomb SW , Taylor H. Construcción y propiedades de los arreglos de Costas // Actas del IEEE : diario. - 1984. - vol. 72 , núm. 9 _ - P. 1143-1163 .
Beard J., Russo J., Erickson K., Monteleone M., Wright M. Combinatoric Collaboration on Costas Arrays and Radar Applications (inglés) // En IEEE Radar Conference: revista. - 2004. - P. 260-265 .
Richard K. Guy . Secciones C18, F9 // Problemas no resueltos de teoría de números (neopr.) . — 3ra ed. - Springer Verlag , 2004. - ISBN 0-387-20860-7 .
Óscar Moreno. Encuesta de resultados sobre patrones de señales para localizar uno o varios objetivos // Conjuntos de diferencias, secuencias y sus propiedades de correlación (inglés) / Alexander Pott, P. Vijay Kumar, Tor Helleseth, Dieter Jungnickel (eds). — Kluwer. — ISBN 0792359585 .

Enlaces

Scott Ricardo. www.costasarrays.org (4 de octubre de 2011). Archivado desde el original el 6 de febrero de 2012. (indefinido)
Diciembre de 1999 Desafío del programador: arreglos de Costas . Mactech. (indefinido)
Enciclopedia en línea de secuencias enteras :
- A008404 : Número de arrays Costas de orden n , contando rotaciones y flips como distintos.
- A001441 : Número de arreglos de Costas no equivalentes de orden n bajo grupo diédrico.