Función meromórfica

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Una función meromorfa (del griego μέρος - "parte" y μορφή - "forma") de una variable compleja en una región (o en una superficie de Riemann ) es una función holomorfa en una región que tiene un polo en cada punto singular (por lo tanto , un punto aislado del conjunto , que no tiene puntos límite en , y ). $P\subconjunto \mathbb {C}$ $PAGS$ $F$ $P\barra invertida \{a_{1},\;a_{2},\;\ldots \}$ $ai}$ $ai}$ $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots\}$ $PAGS$ $\lim _{{z\to a_{i}}}|f(z)|=\infty$

Definición

Una función meromórfica real viene dada por una tripleta donde es una superficie de Riemann compacta , es una involución antiholomórfica (involución de conjugación compleja) y es un mapa sobre la esfera de Riemann ( ). Además, debe satisfacer la condición para todos Toda función real se construye a partir de alguna función algebraica real: cualquier polinomio con coeficientes reales es una función meromórfica real. El conjunto de puntos fijos de la involución consta de contornos cerrados (óvalos) simples que no se cortan por pares. Si está conectado (desconectado), entonces la curva se llama sin separación (separación). Una función meromórfica real transforma el óvalo de una curva real en un contorno donde el grado de mapeo se define como el índice de la función en el óvalo : el valor absoluto del grado ${\ estilo de visualización (P, \ tau, f),}$ $PAGS$ ${\ estilo de visualización \ tau: P \ a P}$ $f:P\to {\sombrero {\mathbb {C} }}$ ${\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $\tau \circ f={\overline {f(z)))$ ${\ estilo de visualización z \ en P.}$ $p(z)=a_{0}+a_{1}z+...+a_{n}z^{n},$ $a_{i}(z)\en \mathbb {R} ,$ $P^{\tau}\subconjunto P$ $\tau$ ${\displaystyle P\setminus P^{\tau ))$ $F$ $a$ ${\ estilo de visualización (P, \ tau)}$ ${\sombrero {\mathbb {R} }}\subconjunto S,$ ${\hat {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \infty .$ $f(a)\subconjunto {\mathbb {R} }$ $f|_{a}:a\to \mathbb {\hat {R)) .$ ${\ estilo de visualización (P, \ tau, f)}$ ${\ Displaystyle a \ en P ^ {\ tau}}$ ${\ estilo de visualización f | _ {a}.}$

El espacio de funciones meromórficas reales consta de un número contable de componentes conectados, donde cada componente es una variedad real de dimensión finita no cerrada y se distingue por especificar invariantes topológicos enteros . Por ejemplo, el grado de mapeo y el género de la curva son invariantes.El tipo topológico de la función es un conjunto de números ( ), donde es el número de hojas de la cubierta , el conjunto es el conjunto de índices de función sobre óvalos , y es un número igual a 1 para las curvas de separación y 0 para las que no son de separación. [una] $norte$ $F$ $gramo$ ${\ estilo de visualización P.}$ ${\ estilo de visualización (P, \ tau, f)}$ $g,n,\varepsilon\,|\,I$ $norte$ $F,$ ${\ estilo de visualización I = (i_{1},...,i_{k})}$ ${\ estilo de visualización (P, \ tau, f)}$ $\varepsilon$

El conjunto de todas las funciones meromórficas sobre un dominio es un campo con respecto a las habituales operaciones puntuales con posterior extensión en singularidades removibles. ${\ estilo de visualización M (P)}$ $PAGS$

Propiedades

La proporción de cualquier holomorfa en funciones, y , es una función meromórfica en . $\varphi /\psi$ $PAGS$ $\varphi$ $\psi$ $PAGS$
Por el contrario, cualquier función meromórfica en un dominio (y en una superficie de Riemann no compacta ) se puede representar como , donde y son holomorfas y no tienen ceros comunes en . $P\subconjunto \mathbb {C}$ $PAGS$ $\varphi /\psi$ $\varphi$ $\psi$ $PAGS$

Así, en una superficie de Riemann no compacta, el campo coincide con el campo de cocientes del anillo de funciones holomorfas en . ${\ estilo de visualización M (P)}$ $PAGS$

Cada función meromórfica define un mapeo continuo desde el dominio a la esfera de Riemann , que es un mapeo holomorfo con respecto a la estructura compleja estándar . ${\ estilo de visualización f \ en M (P)}$ $F$ $PAGS$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}$ ${\mathbb C}\cup \{\infty \}={\mathbb C}P^{1}$
Por el contrario, cualquier mapeo holomorfo define una función meromórfica en . En este caso, el conjunto de polos coincide con el conjunto discreto . ${\displaystyle f:P\to \mathbb {C} \cup \{\infty \))$ $F$ $PAGS$ $F$ $f^{{-1}}(\infty)$

Por lo tanto, las funciones meromórficas de una variable compleja se pueden identificar con mapeos holomórficos en la esfera de Riemann.

Sobre cualquier superficie de Riemann no compacta, existe una función meromórfica con polos dados y dada en cada uno de ellos la parte principal de la descomposición de Laurent ( teorema de Mittag-Leffler sobre la descomposición de una función meromórfica ). $\{a_{1},\;a_{2},\;\ldots\}$
En una superficie compacta de Riemann (por ejemplo, en un toro ), este problema generalmente no tiene solución: se necesitan condiciones adicionales para hacer coincidir las partes principales.

Véase también

Deducción

Notas

↑ S. M. Natanzon, Funciones meromórficas reales sobre curvas algebraicas reales, Dokl. AN SSSR, 1987, volumen 297, número 1, 40–43.

Enlaces

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka . - 1969, 577 páginas.