Método de diferencias finitas

El método de diferencias finitas es un método numérico para resolver ecuaciones diferenciales basado en la sustitución de derivadas por esquemas de diferencias . Es un método de cuadrícula.

Método de diferencias finitas para resolver problemas elípticos

Para resolver el problema elíptico por el método de diferencias finitas, se construye una cuadrícula en el dominio computacional, luego se selecciona un esquema de diferencia y se escribe una ecuación de diferencia para cada nodo de la cuadrícula (análoga a la ecuación original, pero usando un esquema de diferencia), luego se tienen en cuenta las condiciones de contorno (para las condiciones de contorno del segundo y tercer tipo también se construye un cierto esquema de diferencias). Resulta un sistema de ecuaciones algebraicas lineales , resolviendo que en la respuesta obtienen valores aproximados de la solución en los nodos.
El principal problema del método es la construcción de un esquema de diferencias correcto que converja a la solución. El esquema se construye en base a las propiedades del operador diferencial original.

Comparación con el método de los elementos finitos

Otro método para resolver problemas elípticos es el método de elementos finitos , que tiene ventajas y desventajas sobre el método de diferencias finitas.

Ventajas de MKR	Ventajas de FEM
Para problemas simples, la construcción de un esquema de diferencias es más rápida	El método es de proyección, es decir, estable. Le permite trabajar con áreas geométricamente más complejas La solución es inmediatamente una función y los valores en cualquier punto se pueden calcular inmediatamente (en MCS, primero debe construir una spline)

Ejemplo

Sea un problema elíptico unidimensional:

$-{\frac{d^{2}u}{dx^{2}}}=f(x),~x\in [0,1]$
$tu(0)=u(1)=0$

Construyamos una cuadrícula con un paso constante . Para la aproximación, elegiremos una plantilla de tres puntos, es decir, para aproximar la derivada en un punto , usaremos puntos . Entonces la ecuación en diferencias se verá así: $h={\frac{1}{4))$ $x_i$ $\izquierda\{x_{{i-1}},x_{i},x_{{i+1}}\derecha\}$

${\frac {-u_{{i-1}}+2u_{i}-u_{{i+1}}}{h^{2}}}=f_{i},~i=1,2,3$

Dadas las condiciones de contorno, el sistema de ecuaciones lineales de la forma , para encontrar una solución, se verá así: $Au=b$

$A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\-16&32&-16&0&0\\0&-16&32&-16&0\\0&0&-16&32&-16\\0&0&0&0&1\\\end{pmatrix}}~~b={\begin {pmatriz}0\\f({\frac {1}{4)))\\f({\frac {1}{2)))\\f({\frac {3}{4)))\ \0\\\end{matrix}}$ .

Método de diferencias finitas para resolver problemas no estacionarios

Resolver problemas usando el método de diferencias finitas, cuando el proceso cambia en el tiempo, es un proceso iterativo: en cada iteración, encontramos una solución en una nueva capa de tiempo. Para resolver tales problemas, se utilizan esquemas explícitos e implícitos y un predictor-corrector (un par de esquemas explícitos e implícitos especialmente seleccionados). Los esquemas explícitos y los esquemas predictor-corrector simplemente recalculan el valor utilizando información de capas de tiempo anteriores, el uso de un esquema implícito conduce a la solución de una ecuación (o sistema de ecuaciones).
Para ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, a menudo se utilizan métodos mixtos: las derivadas temporales se aproximan mediante un esquema de diferencia y el operador espacial se aproxima mediante una formulación de elementos finitos [1] .

Un ejemplo de resolución de una ecuación diferencial ordinaria

Sea dada una ecuación con la condición inicial . Para resolver, utilizamos los siguientes esquemas de diferencias: ${\frac{du}{dt}}=u$ $tu(0)=1$

Esquema explícito de Euler . Ecuación en diferencia: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i}}-u_{{i-1} }}{h}}$ $u_{{i+1}}={\frac{1}{1-h}}u_{{i}}$
Esquema implícito de Euler . Ecuación en diferencia: . ${\Bigl .}{\frac {du}{dt}}{\Bigr |}_{{t=t_{i}}}={\frac {u_{{i+1}}-u_{{i} }}{h}}$ $u_{{i+1}}=(1+h)u_{i}$

Con paso . La solución exacta es el exponente : $h=0,25$ $u=e^{t}$

El resultado del cálculo de los primeros pasos.
valor t	solución exacta	Esquema explícito de Euler	Esquema implícito de Euler
$0.25$	$1.28...$	$1.25$	$1.33...$
$0.50$	$1,64...$	$1.56...$	$1.77...$
$0.75$	$2.11...$	$1,95...$	$2.36...$

A medida que disminuye el paso, aumenta la precisión del método. Como la ecuación original es una ecuación diferencial lineal , entonces para el esquema implícito también se obtuvo una ecuación lineal, a partir de la cual es posible expresar (lo que se hizo) la solución.

Un ejemplo de resolución de una ecuación parabólica

Este ejemplo demuestra cómo se combinan las formulaciones de elementos finitos y los esquemas de diferencias. Sea dada la ecuación parabólica:

$-\Delta u+{\frac {\u parcial}{\t parcial))=f({\mathbf {r)),t),~in~\Omega$
$u=g~on~\parcial \Omega ,~{\Bigl .}u{\Bigr |}_{{t=0))=\chi ({\mathbf {r)))$

Para la aproximación en el tiempo, utilizando el esquema implícito de Euler, obtenemos:

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {u^{{i+1}}-u^{{i}}}{\tau }}=f({\mathbf {r}} ,t^{{i+1}})$

Como ya se conoce el valor de la capa anterior, entonces, al trasladarlo al lado derecho, se obtiene una ecuación elíptica con respecto a : $tu^{{i+1}}$

$-\Delta u^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau}}u^{{i+1}}=f^{{i+1}}+{\frac {1} {\tau}}u^{{i}}$

Para resolver esta ecuación se puede aplicar el método de Galerkin , luego la SLAE resultante tendrá la siguiente forma:

$\left(G+{\frac {1}{\tau }}M\right)x^{{i+1}}=b^{{i+1}}+{\frac {1}{\tau }} MX^{{i}}$ .

Aquí: es la matriz de rigidez, es la matriz de masa, es el vector conectado con el lado derecho de la ecuación original, es el vector de pesos de las funciones de base en la capa numerada . $GRAMO$ $METRO$ $b$ $x^yo$ $i$

Sin embargo, la solución espacial también se puede buscar utilizando un esquema de diferencias, similar al ejemplo que se muestra arriba.

Véase también

Literatura

Samarsky A.A. , Nikolaev ES Métodos para resolver ecuaciones de cuadrícula. - Moscú: Nauka , 1978. - 592 p.
Stetter H. Análisis de métodos de discretización para ecuaciones diferenciales ordinarias. - Moscú: Mir , 1978. - 461 p.

Notas

↑ Soloveichik Yu.G. , Royak ME , Persova M.G. Método de elementos finitos para problemas escalares y vectoriales. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Método de diferencias finitas
Artículos generales	Método de diferencias finitas esquema de diferencia ecuación diferencial
Tipos de esquemas de diferencia.	método de Euler Método Runge-Kutta método de adams Integración Werlet Método de diferencias finitas en el dominio del tiempo

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