Método de conversión inversa

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El método de transformación inversa ( transformación de N. V. Smirnov ) es un método para generar variables aleatorias con una función de distribución dada modificando la operación de un generador de números distribuidos uniformemente.

Descripción del algoritmo

Sea una función de distribución arbitraria . Mostremos cómo, teniendo un generador de muestras de la distribución uniforme continua estándar , obtener una muestra de la distribución dada por la función de distribución . $F(x)$ $F(x)$

Función de distribución estrictamente creciente

Si una función es estrictamente creciente en todo el dominio de definición , entonces es biyectiva y, por lo tanto, tiene una función inversa . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ $F^{-1}:[0,1]\to \mathbb {R}$

Sea una muestra de una distribución uniforme continua estándar. $U_{1},\ldots,U_{n}\sim U[0,1]$
Entonces , donde , es una muestra de la distribución que nos interesa. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}=F^{-1}(U_{i}),\;i=1,\ldots,n$

Ejemplo

Sea necesario generar una muestra a partir de la distribución exponencial con el parámetro . La función de esta distribución es estrictamente creciente y su función inversa tiene la forma . Por lo tanto, si es una muestra de una distribución uniforme continua estándar, entonces , donde $\lambda>0$ ${\displaystyle F(x)=1-e^{-\lambda x))$ $F^{-1}(x)=-{\frac {1}{\lambda}}\,\ln(1-x)$ $U_{1},\ldots,U_{n}$ $X_{1},\ldots,X_{n}$

X_{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\ln(1-U_{i}),\;i=1,\ldots,n

es la muestra deseada de la distribución exponencial.

Función de distribución no decreciente

Si una función simplemente no decrece, es posible que su función inversa no exista. En este caso, es necesario modificar el algoritmo anterior . $F:\mathbb {R} \to [0,1]$

Sea una muestra de una distribución uniforme continua estándar. $U_{1},\ldots,U_{n}\sim U[0,1]$
Entonces , donde , es una muestra de la distribución que nos interesa. El hecho de que el límite inferior exacto sea igual al mínimo se cumple debido a la continuidad de la función de distribución de la derecha, lo que significa que se alcanza el límite inferior exacto. $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}=\inf\{x\mid F(x)=U_{i}\}=\min\{x\mid F(x)=U_{i}\},\;i= 1,\ldots,n$

Notas

Si es estrictamente creciente, entonces . Por lo tanto, el algoritmo modificado para una función de distribución arbitraria incluye un caso analizado por separado de una función de distribución estrictamente creciente. $F(x)$ ${\displaystyle F^{-1}(u)=\inf\{x\mid F(x)=u\))$
A pesar de la aparente universalidad, este algoritmo tiene serias limitaciones prácticas. Incluso si la función de distribución es estrictamente creciente, no siempre es fácil calcular su inversa, especialmente si no se da como una función elemental , como, por ejemplo, en el caso de una distribución normal . En el caso de una función de distribución general, la mayoría de las veces es necesario encontrar numéricamente el límite inferior exacto , lo que puede llevar mucho tiempo.

Justificación matemática

Vamos , eso es . Considere la función de distribución de una variable aleatoria . $U\sim U[0,1]$ $F_{U}(u)=u,\;u\en [0,1]$ $X=\inf\{x\mid F(x)=U\}$

\mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} (\inf\{x'\mid F(x')=U\}\leq x)=\mathbb {P} (U \leq F(x))=F_{U}(F(x))=F(x)

Es decir, tiene una función de distribución . $X$ $F(x)$

Véase también

Literatura

Vadzinsky R. N. Manual de Distribuciones de Probabilidad. - San Petersburgo: Nauka, 2001, 295 p.