Distribución exponencial

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distribución exponencial
Densidad de probabilidad
función de distribución
Designacion	$\mathrm {Exp} (\lambda ),{\mathcal {E))(\lambda )$
Opciones	$\lambda>0$ - intensidad o factor de escala inversa
Transportador	$x\in [0;\infty)$
Densidad de probabilidad	${\displaystyle \lambda e^{-\lambda x))$
función de distribución	${\displaystyle 1-e^{-\lambda x))$
Valor esperado	${\ estilo de visualización \ lambda ^ {-1}}$
Mediana	${\ estilo de visualización \ ln (2) / \ lambda}$
Moda	${\ estilo de visualización 0}$
Dispersión	${\ estilo de visualización \ lambda ^ {-2}}$
Coeficiente de asimetría	$2$
Coeficiente de curtosis	$6$
entropía diferencial	${\ estilo de visualización 1-\ ln (\ lambda)}$
Función generadora de momentos	$\left(1-{\frac {t}{\lambda}}\right)^{-1}$
función característica	$\left(1-{\frac {it}{\lambda}}\right)^{-1}$

La distribución exponencial (o exponencial [1] ) es una distribución absolutamente continua que modela el tiempo entre dos ocurrencias sucesivas del mismo evento.

Definición

Una variable aleatoria tiene una distribución exponencial con un parámetro si su densidad de probabilidad tiene la forma: $X$ $\lambda>0$

f_{X}(x)={\begin{casos}\lambda \,e^{{-\lambda x)),&x\geq 0,\\0,&x<0.\end{casos))

Ejemplo. Supongamos que hay una tienda que los clientes visitan de vez en cuando. Bajo ciertos supuestos, el tiempo entre la aparición de dos compradores consecutivos será una variable aleatoria con una distribución exponencial. El tiempo de espera promedio para un nuevo cliente (ver más abajo) es . El parámetro en sí se puede interpretar como el número promedio de nuevos clientes por unidad de tiempo. $1/\lambda$ $\lambda$

En este artículo, por definición, supondremos que la densidad de una variable aleatoria exponencial está dada por la primera ecuación, y escribiremos: . $X$ $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda)$

Función de distribución

Integrando la densidad, obtenemos la función de distribución exponencial :

F_{X}(x)=\left\{{\begin{matriz}1-e^{{-\lambda x}}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\ end{matriz}}\right.

Momentos

Por integración simple, encontramos que la función generadora de los momentos para la distribución exponencial tiene la forma:

{\mathrm {M}}_{X}(t)=\left(1-{t \over \lambda }\right)^{{-1}}

donde obtenemos todos los momentos:

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {n!}{\lambda ^{n}}}

En particular,

{\mathbb {E}}[X]={\frac {1}{\lambda}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {2}{\lambda ^{2}}}

\nombre del operador {D}[X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}

Actos de independencia

deja _ entonces _ $X\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda)$ ${\mathbb {P}}(X>s+t\mid X\geqslant s)={\mathbb {P}}(X>t)$

Ejemplo. Deje que los autobuses se detengan al azar, pero con una intensidad promedio fija. Entonces, la cantidad de tiempo que el pasajero ya pasó esperando el autobús no afecta el tiempo que aún le queda por esperar.

Relación con otras distribuciones

La distribución exponencial es la distribución de Pearson de tipo X [2] .
El mínimo de variables aleatorias exponenciales independientes también es una variable aleatoria exponencial. Sean variables aleatorias independientes, y . Entonces [3] : $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda _{i})$

Y=\min \limits _{i=1,\ldots, n}(X_{i})\sim \mathrm {Exp} \left(\sum \limits _{i=1}^{n} \lambda _{i}\derecha).

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma :

\mathrm {Exp} (\lambda)\equiv \Gamma (1,1/\lambda).

La suma de variables aleatorias exponenciales independientes idénticamente distribuidas tiene una distribución gamma. Sean variables aleatorias independientes, y . Después: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda)$

Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma (n,1/\lambda).

La distribución exponencial se puede obtener a partir de la distribución uniforme continua por el método de la transformación inversa . deja _ Después: $U\simU[0,1]$

X=-{\frac {1}{\lambda }}\ln U\sim \mathrm {Exp} (\lambda ).

La distribución exponencial con un parámetro es un caso especial de la distribución chi-cuadrado : $\lambda=1/2$

\mathrm {Exp} (1/2)\equiv \chi ^{2}(2).

La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Weibull .
Sean variables aleatorias independientes, y y . Después: $X_{1},\ldots,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {Exp}}(\lambda)$ $Y=\max {X_{1},...,X_{n)),Z=X_{1}+{\frac {X_{2}}{2}}+...+{\ fracción {X_{n}}{n}}}$

P(Y<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n},P(Z<t)=(1-\exp(-\lambda t))^{n} .

Notas

↑ Andrey Rukosuev, Viktor Bashlykov, Konstantin Baldin. Fundamentos de teoría de la probabilidad y estadística matemática. libro de texto — Litros, 2016-03-26. - S. 80. - 489 pág. — ISBN 9785457365889 .
↑ Korolyuk, 1985 , pág. 135.
↑ Viktor Kashtanov, Alexey Medvedev. Teoría de la Confiabilidad de Sistemas Complejos . - 2018. - S. 498. - 608 pág.

Literatura

Korolyuk V. S. , Portenko N. I. , Skorokhod A. V. , Turbin A. F. Manual de teoría de la probabilidad y estadística matemática. - M. : Nauka, 1985. - 640 p.

Distribuciones de probabilidad
Discreto	Bernoulli Binomio Geométrico hipergeométrico logarítmico binomio negativo veneno Uniforme discreto multinomial
Absolutamente continuo	Beta Weibulla Gama- hiperexponencial Gompertz Kolmogorov cauchy Laplace logaritmo normal Normal (Gaussiano) Logístico Nakagami Pareto Pearson semicircular uniforme continuo Arroz Rayleigh Alumno Tracey - Vidoma Pescador Chi-cuadrado Exponencial Varianza-gamma Normal multivariado cópula