Método de separación de variables

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El método de separación de variables es un método de resolución de ecuaciones diferenciales , basado en la transformación algebraica de la ecuación original a la igualdad de dos expresiones dependientes de distintas variables , unas de las cuales son funciones de otras.

Cuando se aplica a ecuaciones diferenciales parciales, el esquema de separación de variables lleva a encontrar una solución en forma de serie de Fourier o integral . En este caso, el método también se denomina método de Fourier (en honor a Jean Baptiste Fourier , quien construyó soluciones de la ecuación del calor en forma de series trigonométricas [1] ) y el método de las ondas estacionarias [2] [3] .

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Considere una ecuación diferencial ordinaria , cuyo lado derecho es el producto de una función solo de por una función solo de (en este caso, la función es una función de ). [4] : $X$ $y$ $y$ $X$

$\frac{dy}{dx} = g(x) h(y). \qquad (1)$

En este caso, esta ecuación se puede reescribir en la forma $h(s) \ne 0$

$\frac{dy}{h(y)} = g(x) dx$ .

Sea alguna solución de la ecuación (1). De la igualdad de diferenciales se sigue que sus integrales indefinidas difieren sólo en un término constante arbitrario : $y(x)$

$\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) dx + C$ .

Calculando las integrales, obtenemos la integral general de la ecuación (1).

Si la ecuación se da como [5] :

$M(x)N(y)dx + P(x)Q(y)dy = 0,$

entonces para separar las variables no es necesario reducirlo a la forma (1). Es suficiente dividir ambas partes en : $N(y) P(x)$

$\frac{M(x) dx}{P(x)} + \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = 0,$

¿De dónde viene la integral general?

$\int \frac{M(x) dx}{P(x)} + \int \frac{ Q(y)dy}{N(y)} = C.$

Ejemplo

Dejar

$x dy - y dx = 0$ [6] .

Separando las variables, obtenemos

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}.$

Integrando ambas partes de la última igualdad, tenemos

$\ln|y| = \ln|x| + \ln C_1,$

donde es una constante positiva. De aquí $C_{1}$

$|y| = C_1 |x|$

$y=Cx,$

donde es una constante arbitraria que puede tomar valores tanto positivos como negativos. $C = \pm C_1$

Las soluciones de esta ecuación diferencial son también las funciones y . La última solución se obtiene de la solución general de . $x=0$ $y=0$ $y = C x$ $C=0$

Ecuaciones diferenciales parciales

El método de separación de variables se utiliza para resolver problemas de valores en la frontera para ecuaciones lineales de segundo orden de tipo hiperbólico , parabólico y elíptico , así como para algunas clases de ecuaciones no lineales y ecuaciones de órdenes superiores [7] .

Ecuación homogénea

Demos un esquema del método para el problema de vibraciones de una cuerda fijada en los extremos [8] :

$u_{tt} = a^2 u_{xx}, \qquad(2)$

$u(0,t) = 0, \quad u(l, t) = 0, \qquad (3)$

$u(x, 0) = \varphi(x), \quad u_t(x, 0) = \psi(x). \qquad (4)$

Buscaremos soluciones de la ecuación (2) que sean idénticamente distintas de cero y satisfagan las condiciones de contorno (3) en forma de un producto

$u(x, t) = X(x) T(t). \ cuádruple (5)$

Sustituya el tipo esperado de solución en la ecuación (2) y divida por : $a^2 X(x) T(t)$

$\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac{T''(t)}{a^2 T(t)}. \qquad (6)$

El lado izquierdo de la igualdad (6) es una función de solo la variable , el lado derecho es solo una función de . Por lo tanto, ambas partes no dependen de y son iguales a alguna constante . Obtenemos ecuaciones diferenciales ordinarias para determinar las funciones y : $X$ $t$ $X$ $t$ $-\lambda$ $x(x)$ $T(t)$

$X''(x) + \lambda X(x) = 0, \quad X(x) \not \equiv 0, \qquad (7)$

$T''(t) + a^2 \lambda T(t) = 0, \quad T(t) \not \equiv 0, \qquad (8)$

Sustituyendo (5) en las condiciones de contorno (3), obtenemos

$X(0) = X(l) = 0. \qquad (9)$

Llegamos al problema de Sturm-Liouville (7),(9). Este problema tiene soluciones no triviales (funciones propias)

$X_n(x) = \sin \frac{\pi n}{l} x,$

determinado hasta un factor arbitrario solo para valores iguales a los valores propios $\lambda$

$\lambda_n = \left(\frac{\pi n}{l}\right)^2, \quad n = 1, 2, 3, \dots$

Las soluciones de la ecuación (8) corresponden a los mismos valores $\lambda_n$

$T_n(t) = A_n \cos \frac{\pi n}{l}at + B_n \sin \frac{\pi n}{l}at,$

donde y son constantes arbitrarias. $Un$ $B_n$

Entonces las funciones

$u_n(x, t) = X_n(x) T_n(t)$

son soluciones particulares de la ecuación (2) que satisfacen las condiciones (3). La solución al problema (2)-(4) se obtiene como una suma infinita de soluciones particulares

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} u_n(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \left(A_n \cos \frac{\pi n {l} en + B_n \sin \frac{\pi n}{l}en \right) \sin \frac{\pi n}{l} x,$

donde las constantes y se pueden encontrar a partir de las condiciones iniciales (4) como los coeficientes de Fourier de las funciones y : $Un}$ $B_{n}$ $\varfi(x)$ $\psi(x)$

$A_n = \frac{2}{l} \int_0^l \varphi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx, \quad B_n = \frac{2}{\pi na} \int_0 ^l \psi(x) \sin \frac{\pi n}{l} x dx.$

El método de separación de variables también es aplicable a la ecuación de vibraciones de una cuerda de forma general

$\frac{\parcial}{\parcial x} \left[ k(x) \frac{\parcial u}{\parcial x} \right] - q(x) u = \rho(x) \frac{\parcial ^2 u}{\parcial t^2},$

donde , y son funciones positivas continuas en el intervalo [9] . En este caso, la solución se construye como una serie de funciones propias del problema de Sturm-Liouville $k$ $q$ $\rho$ $0<x<l$

$\frac{d}{dx} \left[ k(x) \frac{d X}{dx} \right] - q(x) X + \lambda \rho(x) X = 0, \quad X(0 ) = X(l) = 0. \qquad (10)$

El trabajo fundamental sobre la justificación del método de Fourier pertenece a V. A. Steklov [10] . El teorema de Steklov establece que, bajo ciertas condiciones, cualquier función puede expandirse de manera única en una serie de Fourier en términos de funciones propias del problema del valor en la frontera (10).

Ecuación no homogénea

El método de separación de variables para ecuaciones no homogéneas a veces se denomina método de Krylov en honor a A. N. Krylov [2] . Al resolver el problema del valor límite para la ecuación de la ecuación no homogénea de vibraciones de cuerdas

$u_{tt} = a^2 u_{xx} + f(x, t) \quad (11)$

funciones y se expanden en series de Fourier en términos del sistema de funciones propias del problema de Sturm-Liouville para la correspondiente ecuación homogénea (2): $tu$ $F$

$u(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} T_n(t) \sin \frac{\pi n}{l}x,$

$f(x, t) = \sum_{n = 1}^{\infty} f_n(t) \sin \frac{\pi n}{l} x.$

Sustituyendo la serie obtenida en la ecuación (11), teniendo en cuenta la ortogonalidad del sistema, se obtiene la ecuación para : $\left \{ \sin \frac{\pi n}{l} x \right \}$ $T_n(t)$

$T''_n(t) + a^2 \lambda_n T_n(t) = f_n(t). \qquad (12)$

Las funciones se pueden encontrar como soluciones a los problemas de Cauchy para las ecuaciones (12) con condiciones iniciales obtenidas a partir de las condiciones iniciales del problema original de valores en la frontera. $T_n(t)$

Software

Xcas : [11] dividir((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Véase también

Notas

↑ Klein F. Conferencias sobre el desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX. - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 103.
↑ 1 2 Yurko V. A. Ecuaciones de física matemática, 2004 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuaciones de física matemática, 1999 , p. 88.
↑ Smirnov VI Curso de Matemáticas Superiores, 1974 , Vol. 2, p. catorce.
↑ Stepanov V.V. Curso de ecuaciones diferenciales, 1950 , p. 24
↑ Demidovich B.P., Modenov V.P. Differential Equations, 2008 , p. 19
↑ Zaitsev V. F., Polyanin A. D. Método de separación de variables en física matemática, 2009 .
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuaciones de física matemática, 1999 , p. 82.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuaciones de física matemática, 1999 , p. 113.
↑ Tikhonov A.N., Samarsky A.A. Ecuaciones de física matemática, 1999 , p. 119.
↑ [Álgebra simbólica y Matemáticas con Xcas http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~parisse/giac/cascmd_en.pdf ] . (indefinido)

Literatura

Smirnov V.I. Curso de Matemáticas Superiores. — 21ª edición. - Nauka, 1974. - T. 2.
Stepanov VV Curso de ecuaciones diferenciales. - Ed. 6to. — 1950.
Demidovich B.P. , Modenov V.P. Ecuaciones diferenciales: un tutorial. - 3ra ed.. borrada.. - San Petersburgo. : Lan, 2008. - 288 p.
Zaitsev V. F. , Polyanin A. D. Método de separación de variables en física matemática. - San Petersburgo. , 2009. - 92 págs. - ISBN 978-5-94777-211-1.
Tikhonov A. N. , Samarsky A. A. Ecuaciones de física matemática: Libro de texto .. - 6.ª ed., Rev. y adicional .. - M . : Editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1999. - 798 p. — ISBN 5-211-04138-0 .
Yurko V. A. Ecuaciones de física matemática: libro de texto. manual para estudiantes de los departamentos de Mecánica y Matemáticas y Física. - Saratov: Editorial Sarat. un-ta, 2004. - 118 p. — ISBN 5-292-03022-8 .