Funciones ortogonales

Dos, en el caso general, funciones complejas y , pertenecientes al espacio de Lebesgue , donde es un conjunto medible , se denominan ortogonales si $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $L_2(E)$ $mi$

\int\limits_{E}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0

Para funciones vectoriales, se introduce el producto escalar de funciones bajo una integral, y la integración sobre un segmento se reemplaza por integración sobre una región de la dimensión correspondiente. Una generalización útil del concepto de ortogonalidad es la ortogonalidad con cierto peso. Son ortogonales con el peso de la función y si $w$ $F$ $gramo$

\ \int\limits_\Omega\!\langle f(x),g(x)\rangle w(x)\,d\Omega = 0

donde es el producto escalar de vectores y son los valores de las funciones vectoriales y en el punto , es el punto de la región , y es el elemento de su volumen ( medida ). Esta fórmula está escrita de la manera más general en comparación con todas las anteriores. En el caso de escalares reales , el producto escalar debe ser reemplazado por el habitual; en el caso de escalares complejos , : . $\langle f(x), g(x)\rangle$ $f(x)$ $g(x)$ $F$ $gramo$ $X$ $X$ $\Omega$ $d\Omega$ $f(x)$ $g(x)$ $f(x)$ $g(x)$ $\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f(x) g(x)$

El requisito de que las funciones pertenezcan al espacio se debe a que para los espacios no forman un espacio de Hilbert , y por tanto es imposible introducir sobre ellos un producto escalar, y con ello la ortogonalidad. $L_2(E)$ $p \neq 2$ $L_p(E)$

Ejemplo

$\sin x$ y son funciones ortogonales en el intervalo $\cos x$ $[0,\pi]$
$\sin (2\pi knx$ ) y , donde es un número entero, son ortogonales en el intervalo $\ cos (2 \ pi knx)$ $norte$ $[0, T], T = 1 / k$
$X$ y ortogonal en el intervalo $una$ $[-1,1]$

Funciones ortogonales

Ejemplo

Véase también