Modelo negro

En matemáticas financieras , el modelo Black (también conocido como modelo Black-76 ) es una variante del modelo de valoración de opciones Black-Scholes . Tiene aplicaciones directas en la fijación de precios de opciones de bonos , acuerdos de "tope" y "piso", swaptions . El modelo fue presentado por primera vez en un artículo de Fisher Black en 1976.

El modelo de Black se puede generalizar a una clase de modelos conocidos como modelos logarítmicos normales directos, también conocidos como modelos de mercado LIBOR .

Fórmula de Black

La fórmula de Black es similar a la fórmula de Black-Scholes para valorar opciones sobre acciones , excepto por el precio al contado del activo subyacente, que se reemplaza por el precio de descuento de los futuros F.

Suponga que existe una tasa de interés libre de riesgo constante r y el precio de futuros F(t) para cierto activo subyacente tiene una distribución logarítmica normal con un parámetro de volatilidad σ . Luego, la fórmula de Black establece el precio de una opción de compra europea con vencimiento T en un contrato de futuros con precio de ejercicio K y fecha de entrega T' (donde ): $T'\geq T$

c=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]

El precio de venta correspondiente de la opción es:

p=e^{-rT}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]

dónde

d_{1}={\frac {\ln(F/K)+(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T))))

d_{2}={\frac {\ln(F/K)-(\sigma ^{2}/2)T}{\sigma {\sqrt {T))))=d_{1}- \sigma {\sqrt {T}),

y N(.) es la distribución normal acumulativa .

Tenga en cuenta que T' no aparece en la fórmula, incluso si es mayor que T. Esto es consecuencia del hecho de que los futuros se calculan en el mercado y, por lo tanto, el pago se produce cuando se ejerce la opción. Si consideramos una opción sobre un contrato a plazo que vence en el momento T' > T, entonces el pago no ocurrirá hasta el momento T'. Así, se reemplaza el factor de descuento por , ya que hay que tener en cuenta el valor del dinero, teniendo en cuenta el factor tiempo . La diferencia en los dos casos dados es de la derivación de la fórmula a continuación. ${\displaystyle e^{-rT))$ $e^{-rT'}$

Consecuencias y supuestos

La fórmula de Black se puede derivar fácilmente usando la fórmula de Magrabe , que a su vez es una aplicación simple pero útil de la fórmula de Black-Scholes .

El pago de una opción de compra de futuros es max (0, F(T) - K) . Podemos considerar una opción de canje (opción Magrabe), considerando como primer activo, pero como segundo, la redención sin riesgo del bono de $1 en el tiempo T. Luego, la opción de compra se ejerce en el momento T cuando el primer activo es más valioso que los bonos libres de riesgo K. Con dichos activos se cumplirán los supuestos de la fórmula de Magrabe. $e^{-r(Tt)}F(t)$

Lo único que queda por comprobar es que el primer activo es en realidad un activo. Esto se puede apreciar si consideramos una cartera formada en el momento 0 por contrato forward largo con fecha de entrega T y corto F(0) de bonos libres de riesgo. Tenga en cuenta que a una tasa de interés dada, los precios a plazo y de futuros son iguales, por lo que no hay ambigüedad. Luego, en cualquier momento t , puede compensar el bono del contrato a plazo vendiendo otro a plazo con la misma fecha de entrega, obteniendo la diferencia de precio a plazo, pero negociando con el mismo valor de . La liquidación F(0) de bonos libres de riesgo, cada uno de los cuales es más caro, generará una ganancia neta . $e^{-r(Tt)}[F(t)-F(0)]$ $e^{-r(Tt)}$ $e^{-r(Tt)}F(t)$

Véase también

Enlaces

Discusión

Opciones de bonos, límites máximos y el modelo negro Milica Cudina, Universidad de Texas en Austin

Herramientas en línea

Calculadora de cápsulas y Floorlets Shing Hing Man, Gestión de riesgos de Thomson-Reuters
Calculadora 'griega' usando el modelo Black , Razvan Pascalau, Univ. de alabama

Notas

Negro, Fischer (1976). El precio de los contratos de materias primas, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.
Garman, Mark B. y Steven W. Kohlhagen (1983). Valores de opciones de moneda extranjera, Journal of International Money and Finance, 2, 231-237.
Miltersen, K., Sandmann, K. y Sondermann, D., (1997): "Soluciones de forma cerrada para derivados de estructura a plazo con tasas de interés logarítmicas normales", Journal of Finance, 52(1), 409-430.