Fórmula magrabe

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de abril de 2021; la verificación requiere 1 edición .

En matemáticas financieras , la fórmula de Magrabe es una de las fórmulas de valoración de opciones . Se aplica a una opción de intercambio (opción Magrabe) de un activo de riesgo por otro al vencimiento. La fórmula fue propuesta de forma independiente por William Magrabe y Stanley Fischer en 1978.

Definición

Sean y los precios de dos activos de riesgo en el momento , cada uno de ellos tiene un dividendo continuo fijo igual a . La opción que queremos valorar da al comprador el derecho (pero no la obligación) de cambiar el segundo activo por el primero al vencimiento . En otras palabras, su recompensa será . $S_{1}(t)$ ${\ estilo de visualización S_ {2} (t)}$ $t$ $q_{yo}$ $C$ $T$ ${\ estilo de visualización C (T)}$ $\max(0,S_{1}(T)-S_{2}(T))$

El modelo de mercado de Magrabe supone únicamente la existencia de dos activos de riesgo cuyos precios siguen el movimiento browniano geométrico . Las volatilidades de estos movimientos brownianos no son constantes, pero es importante que la volatilidad de su relación sea constante. En particular, el modelo no asume la existencia de un activo libre de riesgo (como un bono de cupón cero ) o cualquier norma de tasa de interés . $\sigma$ ${\ estilo de visualización S_{1}/S_{2))$

Si las volatilidades son iguales , entonces , entonces es el coeficiente de correlación de los movimientos brownianos . $Si}$ $\sigma_i$ $\textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}-2\sigma_{1}\sigma_{2}\rho} }$ $\rho$ $Si}$

La fórmula de Magrabe establece el precio justo de la opción en el momento inicial como:

e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2) })

donde denota la distribución normal estándar acumulada , $norte$

$d_{1}={\frac {\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/ 2)T}{\sigma {\sqrt {T)))}$ ,

$d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T))$ .

Prueba

La fórmula se prueba reduciendo a la fórmula de Black-Scholes :

Primero, considere ambos activos valorados en unidades (en tales casos se dice que se usa como dinero de cuenta ), lo que significa que una unidad del primer activo ahora vale unidades del segundo activo, y el segundo activo vale exactamente 1 . $S_{2}$ $S_{2}$ ${\ estilo de visualización S_{1}/S_{2))$
Con esta elección de dinero de cuenta, el segundo activo se vuelve libre de riesgo y su tasa de dividendo coincide con la tasa de interés. El rendimiento de la opción, recalculado de acuerdo con el cambio en el dinero de la cuenta, es igual a . $q_{2}$ $\max(0,S_{1}(T)/S_{2}(T)-1)$
Así, la opción original se convierte en una opción de compra sobre el primer activo subyacente (con su precio de liquidación) con un precio de ejercicio igual a 1 unidad del activo libre de riesgo. Tenga en cuenta que la tasa de dividendos del primer activo sigue siendo la misma incluso después del recálculo. $q_{1}$
Al aplicar la fórmula de Black-Scholes a estos valores como sus respectivas entradas, como el valor del activo subyacente , la tasa de interés , la volatilidad , etc., obtenemos el precio de la opción expresado en dinero de cuenta. ${\ estilo de visualización S_ {1} (0)/S_ {2} (0)}$ $q_{2}$ $\sigma$
Dado que el precio final de la opción se expresa en unidades , al multiplicar por se traducirá la respuesta a las unidades originales, es decir, la moneda habitual, en la que obtenemos la fórmula de Magrabe. $S_{2}$ ${\ estilo de visualización S_ {2} (0)}$

Véase también

Enlaces

The Margrabe Formula, Rolf Poulsen, Centro de Finanzas, Universidad de Gotemburgo

Literatura

Guillermo Margrabe. El valor de una opción para cambiar un activo por otro. Diario de Finanzas , 33:177-186, 1978
Stanley Fischer. Precios de opciones de compra cuando el precio de ejercicio es incierto y la valoración de los bonos indexados. Diario de Finanzas , 33:169-176, 1978