Categoría monoide

Una categoría monoide (o categoría tensorial ) es una categoría C equipada con un bifuntor

⊗ : C × C → C ,

que es asociativo hasta un isomorfismo natural , y también el objeto I , que es la identidad para ⊗ también hasta un isomorfismo natural. También se imponen algunas condiciones adicionales a los isomorfismos naturales. En la categoría monoide, se puede dar una definición de monoide que generaliza las propiedades de un monoide a partir del álgebra general. De hecho, los monoides ordinarios son monoides en la categoría de conjuntos con un producto directo como producto monoide.

El producto tensorial habitual hace que los espacios vectoriales , los grupos abelianos y los módulos sean categorías monoidales; las categorías monoidales arbitrarias pueden verse como una generalización de estos ejemplos.

Definición

Formalmente, una categoría monoide es una categoría equipada con: $\mathbf {C}$

un bifuntor , denominado producto tensorial o producto monoide , $\otimes \colon {\mathbf C}\times {\mathbf C}\to {\mathbf C}$
un objeto llamado unidad u objeto idéntico , $yo$
tres isomorfismos naturales que expresan el hecho de que la operación del producto tensorial
- asociativo: hay un isomorfismo natural (el llamado asociador ) , , $\alfa$ $\alpha _{{A,B,C}}\dos puntos (A\otimes B)\otimes C\to A\otimes (B\otimes C)$
- $yo$ es la unidad: hay dos isomorfismos naturales y , y . $\lambda$ $\rho$ $\lambda _{A}\dos puntos I\otimes A\to A$ $\rho _{A}\dos puntos A\otimes I\to A$

Se imponen condiciones adicionales a estos isomorfismos naturales:

para todo , , , en el siguiente diagrama pentagonal es conmutativo : $A$ $B$ $C$ $D$ $\mathbf {C}$

para todos y el diagrama triangular es conmutativo: $A$ $B$

De estas condiciones se sigue que cualquier diagrama de este tipo (es decir, un diagrama cuyas flechas están compuestas por , , , la unidad y el producto tensorial) es conmutativo: este es el tema del teorema de coherencia de MacLane . Por ejemplo, mediante varias aplicaciones del asociador es fácil demostrar que y son isomorfos. Los asociadosres se pueden aplicar en diferentes órdenes (por ejemplo, el diagrama muestra dos formas para N = 4), pero el teorema de coherencia implica que diferentes secuencias de aplicaciones definen el mismo mapeo. $\alfa$ $\lambda$ $\rho$ $(A_{N}\otimes A_{{N-1}})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})$ $(A_{N}\otimes (A_{{N-1}}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})$

Una categoría estrictamente monoide es una categoría para la cual los isomorfismos naturales α , λ , ρ son idénticos.

Ejemplos

Cualquier categoría con productos finitos es monoidal, con el producto categórico como producto monoide y el objeto terminal como unidad. Tal categoría a veces se denomina categoría monoidal cartesiana . Por ejemplo:
- ${\mathbf {Conjunto}}$ — la categoría de conjuntos con un producto cartesiano y un conjunto de un elemento como una unidad.
Cualquier categoría con coproductos finitos también es monoidal, con el coproducto y el objeto inicial como unidad.
R -Mod , la categoría de módulos sobreun anillo conmutativo R , es monoide con el producto tensorial⊗ R y el anillo R (entendido como un módulo sobre sí mismo) como identidad.
La categoría de endofuntores (funtores en sí mismos) en la categoría C es una categoría monoidal estricta con composición de funtores como la operación del producto.

Véase también

Notas

Kelly, G. Max (1964). "Sobre las condiciones de MacLane para la coherencia de asociatividades naturales, conmutatividades, etc." —Revista de Álgebra 1 , 397-402
Kelly, G. Max. Conceptos básicos de la teoría de categorías enriquecidas . - Cambridge University Press , 1982. - (London Mathematical Society Lecture Note Series No. 64).
Mac Lane, Saunders (1963). "Asociación natural y conmutatividad". —Estudios Universitarios de Rice 49 , 28-46.
McLane S. Capítulo 7. Monoides // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 188-221. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .