Reflexión sobre la barrera

La reflexión sobre la barrera es un término utilizado en la mecánica cuántica para describir el fenómeno de la reflexión de una partícula en movimiento desde una barrera potencial , lo cual es imposible en la física clásica , cuya altura máxima es menor que la energía total de la partícula . El coeficiente de reflexión está determinado por la forma de la barrera (en el caso unidimensional ) y también por la energía y la masa de la partícula. En este caso , el coeficiente de transmisión es menor que la unidad. Un efecto similar ocurre cuando una partícula pasa sobre un escalón de potencial o un pozo cuántico . ${\ Displaystyle U_ {máx})$ $mi$ $u(x)$

Enfoque a la consideración

Independientemente del perfil potencial, el movimiento de una partícula se considera utilizando la ecuación de Schrödinger estacionaria . Se supone que la partícula se mueve de izquierda a derecha (a lo largo del eje ), el potencial a una gran distancia a la izquierda de la barrera es igual a cero, y a la derecha (posiblemente también igual a cero). En este caso, las funciones de onda a la izquierda y derecha de la barrera son ondas planas de la forma: $u(x)$ $X$ $V_{0}$ $V_{0}$

\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,\,

(extremo izquierdo)

\psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,\,

(más a la derecha).

k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar^{2))))

y son los módulos de los vectores de onda.

k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}(E-V_{0})}{\hbar ^{2))))

La masa , en términos generales, puede diferir según la región, por lo que su símbolo está provisto de un índice adicional; es la constante de Planck. $metro$ $\hbar$

Si el perfil contiene saltos bruscos, entonces la condición de "costura" de la función de onda y las corrientes de probabilidad debe cumplirse en todos los límites ; esto último requiere asegurar la continuidad de la cantidad . $u(x)$ $\psi$ ${\ estilo de visualización \ psi ^{'}/m}$

En el proceso de resolución de la ecuación de Schrödinger, se determinan constantes desconocidas y , mediante las cuales se encuentran además los coeficientes de reflexión y transmisión: $r$ $t$

R=|r|^{2},\qquad T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}

Los resultados de esta consideración para varios sistemas se presentan a continuación.

Ejemplos

Salto de energía potencial

El problema del paso de una partícula, sin cambiar su masa, a una región con diferente energía potencial tiene la siguiente solución: $V_{0}=V$

r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}},\qquad t={\frac {2k_{1}}{k_{1} +k_{2}}}

Los coeficientes de reflexión y transmisión son

R=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}, \quad T={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}

El coeficiente de reflexión tiene un valor finito, pero a medida que se acerca al infinito, tiende a cero. $mi$

Barrera de potencial rectangular

En el caso de una barrera rectangular, el potencial en ambos lados es cero (y ). Las condiciones coincidentes actúan sobre dos fronteras: at y . Los vectores de onda de izquierda a derecha y en la barrera son $V_{0}=0$ $x=0$ ${\ estilo de visualización x = a}$

k_{1}=k_{2}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2)))),\qquad k_{b}={\sqrt {\frac {2m(EV) )}{\hbar^{2}}}}}

Resultado de los coeficientes de reflexión y transmisión:

R=1-T,\qquad T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{b}^{2})^{2)) {4k_{1}^{2}k_{b}^{2}}}\sin^{2}{k_{b}a}}}

Para , el coeficiente de reflexión es generalmente distinto de cero. Pero a ciertas energías se vuelve debido a la puesta a cero del seno. ${\ Displaystyle E> V}$ $mi$ $R=0$

Cambio en la masa efectiva

En este caso, los coeficientes y se calculan mediante las fórmulas: $r$ $t$

r={\frac {{\sqrt {m_{1))}-{\sqrt {m_{2))))({\sqrt {m_{1))}+{\sqrt {m_{2 }}}},\qquad t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}

En consecuencia, los coeficientes de reflexión y transmisión serán

R=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt { m_{2))))}\right)^{2},\qquad T={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2)))){\left({\sqrt {m_{ 1}}}+{\raíz cuadrada {m_{2}}}\derecha)^{2}}}

Si las masas efectivas son iguales, no hay reflexión.

Pozo cuántico infinito

Un pozo cuántico en forma de delta es un potencial de la forma , donde . $U(x)=\lambda /m\cdot \delta (x)$ ${\displaystyle\lambda ={\mbox{const}}<0}$

Nota: en presencia de características -funcionales del potencial, las condiciones para igualar las derivadas, que se derivan del requisito de continuidad actual, cambian un poco, ver más específicamente . $\delta$

Los coeficientes de reflexión y transmisión para dicho pozo son

R=|r|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2))))},\qquad T =|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}}

Resulta que la reflexión de una partícula es posible cuando se mueve por encima del pozo con cualquier energía , aunque con un aumento de energía, la probabilidad de reflexión disminuye. $mi$

Relevancia práctica

Todos los tipos de estructuras presentadas anteriormente se encuentran o pueden crearse en la práctica. En la tecnología de heteroestructuras semiconductoras , es posible obtener sistemas multicapa con diferentes materiales. Dado que las posibilidades de variar las combinaciones de materiales son bastante amplias, es bastante realista obtener las alturas de barrera deseadas (desde fracciones de eV hasta varios eV) y valores de masa efectivos . En consecuencia, el perfil de la banda de conducción desempeñará el papel del perfil potencial . $u(x)$ ${\ Displaystyle E_ {c} (x)}$

Literatura

Landau LD, Lifshits EM Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989 . — 768 pág. - ("Física Teórica", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 .
Flygge Z. Problemas de mecánica cuántica. - Editorial LKI, 2008. - T. 1.